Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
формула, связывающая тензор кривизны У4 и тензор напряженности
калибровочного поля:
(13.14)
(13.15)
А у - (2Х) 1 (о',т (SVth ~Ь Svut - Sxjxv).
(13.16)
(13.17)
liv i ti
а
Rv\)lT* = d[v г?] % +- T[V | a,r,]x -f- QV(1 (Гах + Аапх
a
(13.18)
a
ИЛИ
Rvilh - E|XV-
(13.19)
a
136
Выполнение (13.19) обеспечивает также интегрируемость (13.17). Из
формулы (13.19) следует, что если 11к - антисимметричная мат-
О
рица, то R % = 0, что является необходимым и достаточным условием
равнообъемности перенесения.
Тензор кривизны Риччи получается свертыванием (13.19) с
Rl = и(tm). (13.20)
а
Выражение для скалярной кривизны имеет вид R = Fam^ (13.21)
Эта величина инвариантна относительно локальных калибровочных
преобразований и может быть использована в качестве линейного
лагранжиана для произвольного калибровочного поля. Варьируя (13.21) по
метрике, можно получить аналог уравнений Эйнштейна для произвольного
калибровочного поля:
Rl - V-2 61R = Flv V2 S* П* = *Faxv *"Vv = 0 .
Таким образом, если 4-мерное представление GT задается анти-
симметричными вещественными матрицами, в У4 получаем метрическое
перенесение с кручением. Если матрицы I1. симметричны,
ковариантная производная от метрического тензора отлична от нуля и
перенесение неравнообъемно. Его можно сделать равнообъем-
1
ным, только введя соответствующее симметрическое перенесение Г^,
для чего нужно выбрать специальную неголономную систему коор-
динат.
Пример. Теория Вейля [20]. При интерпретации
электромагнитного поля в рамках 4-мерной геометрии пространства -
времени Вейль, Эддингтон, В. А. Фок используют дополнительные
коэффициенты связности Гц, соответствующие группе инвариантности
относительно растяжений интервала: els'2 = о (x)ds2.
Проецирование 4-мерного представления этой абелевой калибровочной
группы на касательное пространство дает в V4 [4]:
ГЪ = /1}д^-1е$А11;
Г?х = V* д", In | - g | + 2Qp, = V2 дц In |- g | ¦- 4xeA^,
•Sjiv - :cA[|^ 6V], Q|j,xv = 2iАц.
(13.22)
Таким образом, электромагнитное поле соответствует полумет-
рическому переносу в У4(фц = -2\еА д) с кручением (5Ц = -3iеАй).
Поскольку Q,* получилось отличным от нуля, ковариантное диф-
ференцирование не перестановочно с поднятием и опусканием ин-
137
дексов. Перенесение не сохраняет объем, так как v = Ф 0.
В геодезической системе координат r?v = О и = -(i/8e) х X In | -g|. Легко
видеть, что в этом случае F - 0.
Равенство (13.22) инвариантно относительно некоординатных
преобразований метрики вида
giv = о (x)gilv (13.23^
и связанных с ними преобразований А^:
= А" - (\12е)д". In а (х) = А" + е^д^а (х), (13.24)
где а (х) = -(i/2) In а (х).
Таким образом, градиентная инвариантность в электродинамике,
соответствующая калибровочным преобразованиям волновых функций
ф' = exp [ia (х) ]ф = exp In а (х)]ф, (13.25)
оказывается следствием инвариантности коэффициентов связности Vi
относительно конформных преобразований метрики g^v = = exp [2ia (х) Если
преобразования (13.23) считать координатными, то давно отмечавшаяся
конформная инвариантность уравнений Максвелла становится следствием
объединения в одной группе симметрии лоренц-инвариантности и
градиентной инвариантности. С конформными преобразованиями координат
связана также интерпретация электромагнитного поля как калибровочного,
соответствующего группе движения прямой х' = а (х) + р [56]. В этом случае
калибровочная группа разрешима. Ее группа голономии абелева
(нормальный делитель).
Теория тяготения как SO (3,1)-калибровочная теория поля. Если теория
тяготения строится как теория калибровочного поля, ассоциированного с
локальной группой Лоренца, преобразующей ортогональный базис
касательного пространства к Ё4, основной полевой переменной являются
коэффициенты связности Риччи Дц (г/г). Они преобразуют друг в друга
ортогональные базисы, отнесенные к разным точкам V4, и играют роль
вектор-потенциалов поля тяготения. Физически измеримыми величинами,
характеризующими реальное поле тяготения, являются компоненты тензора
кривизны
(ik) = <3[v Д(.ij (ik) (Itri) Av] (PQ)- (13.26)
Лагранжиан, аналогичный лагранжиану Янга-Миллса, имеет вид [57, 58]
L = (Я*/4я)RIIV (ik)R^ (ik). (13.27)
Уравнения поля тяготения получаются варьированием (13.27) по связности
Дц (ik). Они имеют вид
i?UV (t'fe); Ц - 0. (13.28)
138
Покажем, как связана калибровочная теория тяготения с теорией
Эйнштейна.
Коэффициенты связности Риччи выражаются через символы
Кристоффеля следующим образом:
Ац (ik) = hkx djU + rj,v til hkx, (13.29)
где hj -• векторы репера, F^v - символы Кристоффеля. Если
(13.29) выполнено, реперные компоненты тензора кривизны связаны с
компонентами тензора Римана соотношением
hlMRa% (ik) = Raxl (13.30)
Тогда вместо (13.28) имеем
д|т^=0. (13.31)
Однако, используя свойства симметрии тензора кривизны, можно показать,
что в произвольном псевдоримановом многообразии V4 справедливо
