Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
ГНиже рассмотрены первая и третья классификации.
Классификация калибровочных полей по группам голономии.
Определения. Группа голономии расслоенного пространства определяется
следующим образом [5]. При заданной точке z в главном
115
расслоенном пространстве Е группой голономии Жг данной связности в
точке z называется совокупность элементов g ? G, таких, что точки z и zg_1
могут быть соединены горизонтальным путем.
Более наглядно группа голономии получается следующим образом.
Выберем вектор в пространстве, касательном к слою (т. е. в алгебре Ли), с
началом в точке г фиксированного слоя и обнесем выбранный слой по
замкнутому пути в базе. При переносе слоя начало вектора, касательного к
слою (вертикального вектора), переносится по горизонтальному пути. В
результате переноса слой оказывается преобразованным, а точка z исходного
слоя переходит в z' - zg-1, где g ? G.
Группа голономии представляет собой группу преобразований векторов
пространства, касательного к слою (т. е. векторов алгебры Ли), полученную
в результате параллельного переноса их по всевозможным замкнутым путям
в базе, выходящим из данной точки х. Если рассматривать только пути,
лежащие в заданной окрестности точки, то группу голономии называют
локальной. Если перенос осуществляется только вдоль путей, стягиваемых в
точку, то группу голономии называют ограниченной. Если группа
голономии определена во всем пространстве и выбор путей не ограничен,
она называется просто группой голономии. При перенесении векторного
пространства группа голономии состоит из линейных преобразований
векторов и называется однородной. Если переносится не векторное, а
аффинное пространство, группа голономии неоднородна, так как может
содержать сдвиги касательного пространства.
Структура группы голономии отражает свойства пространства в
некоторой области, хотя сама она определяется в каждой точке этой области
отдельно.
Всякий элемент ограниченной неоднородной группы голономии рт (Уп),
где Vn -¦ дифференцируемое многообразие, представляет собой
произведение конечного числа элементов, получаемых из элементов
локальных неоднородных групп голономии (и ? Vn) переносом вдоль путей,
соединяющих точку у с точкой х. То же самое справедливо для
ограниченной однородной группы голономии
<Тх Уп)-
Группы голономии в разных точках z являются сопряженными
подгруппами Gn причем если z и z' принадлежат базе, то Жг = Жг>, а если
гиг' принадлежат одному слою иг' = zy, то Жг> = у~гЖгу, где у ? Gr.
Свойства группы голономии тесно связаны с топологическими свойствами
базы, а именно с топологическим инвариантом базы - группой Пуанкаре.
Группа Пуанкаре определяется числом классов замкнутых путей на
многообразии, не переводимых друг в друга непрерывной деформацией (т. е.
не гомотопных друг другу). Ограниченная однородная группа голономии аг
является нормальным делителем Ж7. При этом существует отображение
(гомоморфизм) f : пх на Ж71а7, где пх - группа Пуанкаре базы в точке х =
pz. Таким образом, меняя топологию Vт. е. ят, можно дополнительно учесть
дискретные симметрии элементарных частиц.
116
Группа голономии, калибровочная группа и структура многообразия.
Как показал Э. Картан [36], в случае аффинной связности без кручения,
заданной на групповом пространстве конечной группы Ли Gr, ограниченная
группа голономии совпадает с производной подгруппой ее присоединенной
группы. Иначе говоря, если известна Gr, ограниченная группа голономии
строится следующим образом: нужно найти группу всех автоморфизмов Gr
(присоединенную группу), состоящую из преобразований вида y~xGy, где у
? G, и затем найти производную подгруппу этой группы, содержащую все ее
коммутаторы, т. е. элементы вида а-Ь-с ... а~х-Ь~х-с~х, где а, Ь, с
принадлежат присоединенной группе и число их произвольно.
Производная подгруппа является нормальным делителем соот-
ветствующей группы. Поэтому для простой группы производная подгруппа
совпадает с самой группой. Но в этом случае и присоединенная группа тоже
совпадает с самой группой. Следовательно, простую калибровочную группу
можно рассматривать не только как фундаментальную группу связанного с
ней риманова пространства, но и как группу голономии этого пространства.
Восстановление калибровочной группы по ограниченной группе голономии
Ж связано в общем случае с поисками нормализаторов этой группы.
Любая группа Ли может быть реализована в виде группы голономии
пространства аффинной связности, но для римановых пространств (т. е.
наделенных метрикой) это не так. Выбор группы голономии сильно
ограничивает возможную структуру риманова пространства, а в некоторых
случаях (когда группа голономии узкая или необычная, т. е. не совпадает с
ортогональной группой в касательном пространстве) полностью ее
определяет [43]. Необычными группами голономии риманова пространства
могут быть следующие группы: U (л/2); SU (л/2); Sp (л/4), Sp (1) • Sp (л/4);
