Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
известно, в ОТО уравнения движения частиц являются следствием
уравнений поля. Покажем, что это справедливо для всех калибровочных
полей, если заданы не только'уравнения Эйнштейна, но и уравнения
калибровочного поля.
Тензор энергии-импульса калибровочного поля определяется как
вариационная производная лагранжиана (5.11) по метрике. В силу (8.14) он
ковариантно сохраняется и, по определению, локально калибровочно-
инвариантен. Уравнения Эйнштейна с тензором энергии-импульса
калибровочного поля в правой части имеют вид
Беря ковариантную дивергенцию (13.40) и учитывая, что R0, получаем
cPr^/ds2 + со Sc rjт = 0,
(13.39)
R4 = х (КГ Kvx-74 6'* F? Fa%%).
(13.40)
(13.41)
141
Уравнения Эйнштейна являются уравнениями поля для метрики, тогда как
уравнения Янга-Миллса определяют связность, вообще говоря, независимо
от метрики. Если уравнения Янга-Миллса свободны и существует
несингулярный вектор-потенциал, (13.41) удовлетворяются тождественно.
Если же кроме полей имеются частицы, в уравнениях калибровочного поля
появляется в правой части ток, а в уравнениях Эйнштейна (13.40) - тензор
энергии-импульса частиц. Тогда (13.41) переходит в
откуда получаем дифференциальный аналог уравнений Лоренца,
описывающих движение частиц в электромагнитном поле:
Интересно отметить, что уравнения движения частиц (13.42) свободны
не только в отсутствие калибровочного поля, но и при J'aFiv. = 0. В
абелевом случае (электродинамика) уравнения калибровочного поля
вытекают из уравнений Эйнштейна (13.40) и в этом смысле не
самостоятельны [32].
Геометрическое происхождение внутренних симметрий и массы
калибровочного поля. Произвольное риманово пространство локально можно
рассматривать как поверхность, вложенную в 10-мерное евклидово
пространство. При этом возникает шесть дополнительных измерений,
которые можно интерпретировать как внутренние степени свободы
элементарных частиц. Удобно выбрать во вмещающем пространстве систему
координат так, чтобы координатные векторы, дополнительные к
пространственно-временным, были к ним ортогональны. Тогда
преобразования "внутренних" степеней свободы не будут затрагивать
пространства-времени. Иначе говоря, преобразования калибровочной
группы будут коммутировать с преобразованиями группы Лоренца. В 6-
мерном внутреннем пространстве, возникающем при имбединге, действует
ортогональная группа О (6), которая имеет в качестве подгруппы группу SU
(3), классифицирующую состояния элементарных частиц. Различные
способы вложения дают различные группы внутренних симметрий.
Динамические симметрии, описываемые киральными группами типа SU (2)
X SU (2) или SU (3) X SU (3), также можно получить с помощью имбединга.
Если Vi обладает некоторой степенью симметрии, его класс вло-
жимости может быть меньше шести. Так, статическое сферически-
симметричное поле Шварцшильда вложимо в плоское пространство шести
измерений, Его класс вложимости равен двум. Совокупность
(13.42)
(13.43)
Rv = (*74n)(?&",Kv'tXe- V48v Д°ЧЛ<тД"тХо); №тЛа; ^vT?-a= 0 и при ф 0 ц =
(А2/4лх) R [о; ч Rv ¦
142
15 генераторов ортогональной группы О (6) содержит одно преобразование в
2-мерной плоскости, коммутирующее с группой Лоренца. Это
преобразование можно рассматривать как внутренцюю симметрию [10].
Относительно некоторых полей тяготения можно указать нижнюю или
верхнюю границу класса вложимости. Например, не существует риманова и
псевдориманова многообразия Ё4 с = 0, вложимого в 5-мерное плоское
пространство. Единственное V,t с = ^gy,v> вложимое в 5-мерное
пространство, есть пространство постоянной кривизны. Единственный вид
решений уравнений Эйнштейна с некогерентной материей (р - 0),
вложимый в 5-мерное пространство, - фридмановские космологические
модели. Если материя вращается, К4 не может быть вложено в 5-мерное
пространство. Таким образом, свойства внутренних симметрий,
возникающих при имбединге, определяются свойствами материи в
римановом про- стр анстве-времени.
Число дополнительных размерностей резко увеличится, если все
пространство-время , а не только окрестность некоторой точки,
рассматривать как поверхность в некотором плоском пространстве большей
размерности. Для такого глобального вложения 1/4 с гиперболической
сигнатурой* нужно пространство, имеющее, вообще говоря, более 230
измерений. Однако часто число измерений для глобального вложения
современных космологических моделей гораздо меньше. Размеры области
АК4, в которой выполняются свойства внутренней симметрии (или
ортогональность Vk и дополнительного подпространства), можно связать с
радиусом действия калибровочного поля, ассоциированного с внутренней
симметрией или с массой его квантов [7-9].
Таким образом, имбединг позволяет интерпретировать внутренние
симметрии элементарных частиц как следствие искривления пространства-
времени на малых расстояниях. Эта связь должна проявляться сильнее в
районах с большой кривизной. На этом пути возможна зависимость между
