Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
векторного поля в базу (ц^) определить проекцию его в слой (оа) и тем
самым восстановить векторное поле полностью, т. е. "поднять" его в
расслоенное пространство. Поэтому говорят, что задание уравнений (11.4),
(11.5) означает задание п лифтов векторных полей, причем это эквивалентно
заданию коэффициентов связности (5.6).
Задание п лифтов векторных полей позволяет определить связность
вдоль любого пути в базе. Если отображение слоев осуществляется с
помощью некоторой псевдогруппы, то компоненты v спе-
X
циализируются так, чтобы они определяли однопараметрические
преобразования этой псевдогруппы.
к
Если можно отождествить векторные поля va, с реперами, то
X
X .
"X
из определения (11.7) получается соотношение vb va = Г? Гщ/V\
X X
что эквивалентно gab = или gabgXMTxr? = г.
Вектор-потенциалы калибровочных полей как коэффициенты связности расслоенного
пространства. Дифференцируя выражение для
111
Гд (11.6) и используя уравнения структуры расслоенного пространства, а
также уравнения (11.4), (11.5), нетрудно получить закон преобразования этой
величины (р = 1 4; а = 1, ..., г):
Если взять частные значения форм cov = 0; сод = -duea; сос = = -гс; сод =
дблЛ'/дх*1, то получим известный закон преобразования для вектор-
потенциалов калибровочных полей А":
Заметим, что здесь учитываются преобразования вектор-потенциала как по
групповому индексу, так и по пространственно-временному.
Поскольку с точки зрения дифференциальной геометрии характер
величины определяется ее законом преобразования, можно отождествить
вектор-потенциалы калибровочного поля Ад с коэффициентами связности
главного расслоенного пространства Гд, базой которого является V4, а
структурной группой - калибровочная группа Gr [4, 39]. Такое
отождествление приводит к превращению уравнений движения частиц,
взаимодействующих с калибровочным полем, в свободные уравнения.
Покажем это.
Ковариантные производные в расслоенном пространстве для
произвольных геометрических объектов строятся, исходя из их закона
преобразования относительно Gr и произвольных непрерывных
преобразований координат в базе. При этом используется понятие
производной Ли. Приведем здесь алгоритм нахождения ко- вариантной
производной, из которого станет ясно, что ковариантная производная в
расслоенном пространстве совпадает с ковариантной производной по Янгу и
Миллсу, включающей взаимодействие с калибровочным полем Ад.
Поле произвольного геометрического объекта в расслоенном
пространстве задается уравнениями вида
где J - компоненты объекта; а~\, r\ р. = 1, ..., п (для V4 п = 4); (К)
- произвольные функции Y. Если функции
Фа линейны по Y, то говорят, что задан линейный объект. Ковари- антный
дифференциал получается при замене в (11.9) произвольных форм со"
инвариантными формами: со" = со" - Гд(c)*1. Он имеет вид
Ковариантная производная произвольного геометрического объекта
представляет собой коэффициент при со*1 и, следовательно, имеет вид
(11.8)
6Ад - А" (дШдх") - ftcAfc - сфе" = 0.
dYJ + Фа (К) С0а = КдСОЕ
(11.9)
VYJ = dYJ + Фа (К) со" = + Г? Фа) ал
Yfu =Yi+ Г"Фi (Y).
(11.10)
112
В частности, для линейных представлений Gr, которые задаются
соотношениями
бяр = I е° ф-(diJVdx11) dx^
а
ИЛИ
64'-/е° 4' = -{d^jdx^dx^,
а
из (11.9) и (11.10) получаем
Ф,;м. = - Щ1дх^) + 1А14>. (11.11)
Здесь / - генератор представления Gr. Легко видеть, что выраже-
а
ние (11.11) совпадает с ковариантной производной Янга-Миллса. Таким
образом, если взаимодействие с калибровочным полем вводится через
замену обычных производных ковариантными в смысле Янга-Миллса
(минимальное взаимодействие), то соответствующие уравнения (или
лагранжианы) можно рассматривать как свободные, но определенные в
расслоенном пространстве с объектом
X
СВЯЗНОСТИ Г? = Лд = VaVn.
И
Тензор кривизны расслоенного пространства определяется из уравнений
структуры (10.22) при замене в них произвольных форм со° инвариантными
формами со0. В этом случае вместо (10.22) получим уравнения структуры
D^VJ^A^ + ^v^AcoA (11.12)
где .Rjiv - тензор кривизны расслоенного пространства, выражаемый через
коэффициенты связности следующим образом:
Г?] -х/2 ft Г']. (11.13)
Если в качестве слоя взять касательное пространство, Г? перейдут в
коэффициенты Риччи (или в символы Кристоффеля), а R^v превратится в
обычный тензор кривизны.
Легко видеть, что R^iV точно так же выражается через Г?, как тензор
напряженности калибровочного поля - через вектор- потенциал Л?:
Kv = Aalv, ц] - V2Пс ACVJ. (11.14)
Если Г? = Л?, то Ejiv = R%. Таким образом, отождествление вектор-
потенциалов калибровочных полей с коэффициентами связности
расслоенного пространства приводит к отождествлению тен
113
зора напряженности калибровочного поля с тензором кривизны этого
пространства.
Вторая ковариантная производная линейного геометрического объекта
(как и вторая ковариантная производная в смысле Янга- Миллса), будучи
