Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
координатам нескольких координатных систем (или локальных карт),
покрывающих в совокупности все многообразие.
В каждой точке окрестности существует значительная свобода выбора
координатных систем. Таким образом, компоненты напряженности
электромагнитного поля в различных координатных системах сами по себе
не так существенны, как понятие, к которому можно прийти, абстрагируясь
от них,-внутреннее значение F напряженности поля*. Чтобы пояснить
смысл этого термина, рассмотрим векторы на многообразии. Утверждение,
что вектор** v известен, означает, что в случае необходимости можно
задать его компоненты в любой несингулярной системе координат. Связь
между вектором v и его компонентами выражается формулой
v = vmem. (10.1)
Компоненты vm зависят от выбора векторов ет базиса системы координат.
Простейший базис составляется из векторов градиента координатных
функций dxm:
v = vmdxm. (Ю-2)
Ковариантные векторы являются линейными комбинациями диф-
ференциалов координат и называются дифференциальными формами 1-го
ранга, 1-формами или пфаффовыми формами [33].
Вместо того чтобы в качестве базисных векторов использовать
дифференциалы координат, можно взять произвольный набор п линейно
независимых векторов со" (здесь индекс означает номер вектора, а не его
компоненту). По отношению к этому набору базисных векторов компоненты
вектора v определяются из разложения
v = насо". (10.3)
Компоненты вектора-градиента в таком базисе называются пфаффовыми
производными по отношению к со": grad f = faсо". Иногда
набор п векторов со" называют неголономным базисом, в отличие от
голономного базиса, составленного из первых дифференциалов координат.
* Внутреннее значение возникает при переходе к бескоординатной записи полей
на многообразии через р-формы. Оно не зависит от выбора системы координат.
** Точнее, ковариантный вектор.
100
Для описания электромагнитного поля необходимо использовать формы
более высокого ранга, или 2-формы. Простейшую 2-форму а можно
представить в виде внешнего произведения двух
1- форм (и = иа(оа и v = vaaa):
а = иду = 1l2(uav^ - НрОа)со"Д (ор = 1/iaapdxa /\dhfi. (10.4)
Операция внешнего произведения Д обобщает векторное произведение на
случай умножения векторов и антисимметричных тензоров любого ранга
таким образом, что после умножения снова получаются антисимметричные
тензоры. Внешнее произведение Д определяется требованиями: 1)
ассоциативности; 2) дистрибутивности, а для произведения двух векторов -
также антикоммутативности, т. е. иДу = -уДи. В частности, иДи = 0.
Внешнее произведение р векторов или линейная комбинация этих
векторов образует /7-форму. Если каждый вектор выражен через со", р-
форма может быть записана в виде
а 2 аа, а2 ... а (0"' Д Ю012 Д • Д W р -
а, < а2 <...< ар 1
= (р!Г1ам,..аД"1Лйа! Л-Л Л (Ю.5)
Тензорные компоненты представляют собой коэффициенты р-формы [в
выражении(10.5)-aai...ap\. На многообразии /7-формы, в отличие от
тензорных коэффициентов, могут быть выбраны инвариантным образом.
Инвариантным же образом можно определить дифференцирование /7-форм
(внешнее дифференцирование).
Оператор внешнего дифференцирования D в применении к скалярной
функции (0-форме) дает вектор (1-форму). Для /7-форм более высокого
ранга (10.5) эта операция обобщается с помощью определения [33]:
(Da) = (p!)_1 daat... Лр Д dxa> Д ...Д dxap .
В тензорных компонентах
(Da)at... ор+1 = 2 (- 1 )р да$2... &р+1/дх^,
где Р равно 0 или +1, в зависимости от того, какую подстановку индексов аъ
..., ар+1 образуют индексы (Д, ..., {Д)+1- четную или нечетную.
Операция D, или внешняя производная, представляет собой анти-
симметричное дифференцирование, обобщающее обычную операцию взятия
ротора от вектора. Она линейна: D (ах + а2) = Dax + Da2. В применении к
произведению, в котором первый сомножитель является р-формой, она дает
D (аДЬ) = (Da)Ab + (-l)^aADb.
Повторное применение внешнего дифференцирования дает нуль: D (Da) =".
0.
10]
Уравнения Максвелла можно рассматривать как уравнения для
коэффициентов FnV и *Fflv (дуально-сопряженный тензор) двух
2- форм [28]:
f = 1kFVL^dxv/\dxv-, (Ю.6)
*f = 1U*Fllvdx^lAdxv. (10.7)
Внешняя производная от формы (10.6) имеет вид
Di = V2 (dFafi/dxy)dxyAdxaf\dxV = V0 (dFa&ldxy + dF^/dxa +
+ dFva/dx(r))dxy Adxa Adx$. (10.8)
Согласно уравнениям Максвелла, коэффициенты 3-формы (10.8)
обращаются в нуль: (dFa^ldxy + dF&v/dxa + dFyJdx$) = 0. Отсюда следует,
что
Df = 0. (10.9)
Уравнение (10.9) удовлетворяется тождественно, если f = DA, т. е.
Faf> = (dAfJdA) - (dAJdxР).
Оставшиеся уравнения Максвелла в отсутствие источников означают,
что внешняя производная 2-формы (10.7) равна нулю:
D*f = 0. (10.10)
Уравнения (10.9) и (10.10) представляют собой бескоординатную запись
уравнений Максвелла в произвольном многообразии при произвольном
выборе координатных систем.
Интегрирование на произвольном многообразии не является вполне
