Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Коноплева Н.П. -> "Калибровочные поля" -> 52

Калибровочные поля - Коноплева Н.П.

Коноплева Н.П., Попов В.Н. Калибровочные поля — Москва, 1972. — 240 c.
Скачать (прямая ссылка): kalibrovochniepolya1972.pdf
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 105 >> Следующая

пересечения окрестностей возникают два слоя, "смещенные" друг
относительно друга определенным образом (с помощью элемента группы).
Чтобы однозначно определить слой над пересечением окрестностей, можно
вместо инвариантных форм группы Q", удовлетворяющих (10.20), перейти к
формам со", заданным над всем многообразием, в том числе и над
пересечением окрестностей. Тогда уравнения структуры принимают вид:
Инвариантные формы связаны с произвольными формами (о"
соотношением со" = ?2" + Г"оД где Г" - коэффициенты связности
расслоенного пространства, задающие отображение слоев в двух бесконечно
близких точках друг на друга. Если фиксируется точка, т. е. х1 = const, оУ =
0, первая система уравнений удовлетворяется тождественно, а вторая
переходит в структурные уравнения группы.
Структурные уравнения (10.21) и (10.22), если они просто посту-
лируются, позволяют рассматривать расслоения с произвольной группой Ли
в качестве структурной группы. Они называются уравнениями
расслоенного пространства. Именно в произвольных расслоенных
пространствах калибровочные поля становятся коэффициентами связности.
Отображение многообразий определяется через отображение
соответствующих систем внешних форм следующим образом [35]. Пусть на
первом многообразии задана система форм Ф7 = U^duK, а на втором 0я =
fbdth, подчиняющихся уравнениям структуры:
Зададим отображение и1 - и7 (t). Тогда возникает связь между
дифференциалами du' = (du4dta)dta, которая приводит к соотно-
Dco*' = оАДсо};
•Deo(r) = х/2 /р-v w13 A А ю*,
где со" = <о"; со" = м".
(10.21)
(10.22)
x у X у
D0" = 0&Д0?;
ЭФ1 = ФКДФк.
(10.23)
(10.24)
107


шениям Ф7 = и*к (dukldta)dta] dta = tabQb, т. е. Ф7 = U'K (duK/dta)tbQb-
Таким образом, формы на первом многообразии линейно выражаются через
формы на втором многообразии:
Ф7 = А Ж. (10.25)
Введенная система форм обладает свойством правильной про-
должаемости, т. е. при внешнем дифференцировании получается разложение
только по главным формам. Других коэффициентов нет. Поэтому можно
применять обобщенную лемму Картана, согласно которой коэффициенты
при главных формах должны разлагаться по ним самим. Действительно,
продифференцируем (10.25):
DQ)J = dAJa Л Qa + Л JaDQa.
Подставим сюда вместо DO1, DQa их выражения из (10.23), (10.24). Тогда
Фк Л Фд = d\Ja Л 0° + Ла еь л 06. (10.26)
Все члены в (10.26) пропорциональны Ла0я. Применим лемму Картана и
получим уравнение, которому должны подчиняться коэффициенты Лд при
отображении систем форм:
dAJa + А"Ф^ - AJb Qa = AJabQb, (10.27)
где AJab - новые коэффициенты.
Если один раз имеет место правильная продолжаемость, она имеет место
все время. Дифференцируя (10.27) внешним образом, получим бесконечную
цепочку зацепляющихся уравнений для коэффициентов отображения AJa,
AJab, AJabc и т. д. Обрывая эту цепочку уравнений, фиксируем отображение
многообразий с точностью до бесконечно малых соответствующего порядка:
AJa ~ duK/dta,
AJab ~ d2uKldtadtb и т. д.
§ 11. Калибровочные поля как коэффициенты
связности главного расслоенного пространства над
К4
Понятия связности и расслоенного пространства. В теории связно* стей
переход к современной глобальной точке зрения и замена линейных групп
общей группой Ли привели к большим изменениям. Понятие связности
возникло у Леви-Чивита как параллельное перенесение касательных
векторов многообразия. У него связность определялась метрикой. Вейль
обобщил понятие связности и показал, что метрика в определении связности
несущественна. Так появилось понятие пространств аффинной связности.
Дальнейшее обобщение произошло с появлением пространств и связности
Кенига. Он ввел связность в векторных расслоениях и показал, что не
108


обязательно, чтобы размерности слоя и базы совпадали. Затем Кар- тан ввел
понятия проективной, конформной и других связностей. Эти связности, как
показал Схоутен, локально можно моделировать в векторных расслоениях. В
настоящее время понятие связности формулируется для самых общих
расслоений, когда не обязательно, чтобы в слое действовала группа Ли, а
связность была линейной. Нам понадобится понятие линейной связности в
однородном расслоении, когда в слое действует произвольная группа Ли
Gr.
Связность в однородном расслоении (вообще говоря, нелинейная)
вводится как отображение множества путей в базе в множество
диффеоморфизмов слоя на слой, удовлетворяющее определенным условиям
[37, 38]. Иначе говоря, связность определяет отображение слоев друг на
друга при перенесении их вдоль различных путей в базе.
Расслоенное пространство [5] представляет собой дифференцируемое (^'-
многообразие Е, на котором задано отношение эквивалентности R -такое,
что: а) пространство отношений В = E/R, или базисное пространство,-
дифференцируемое многообразие п измерений; б) проекция р, т. е.
каноническое отображение многообразия Е на базу В, соответствующее
определению В как пространства отношений, есть с°-дифференцируемое
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 105 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed