Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
матрица Хи симметрична по нижним ин
104
дексам (поскольку при этом добавляется нуль: X\i(?>l/\(r)k = 0). Тогда (10.13)
принимают вид
Dw' = (c)*Л(c)*, (10.14)
где (c)1 = dX)x{ + Xkia1 - двухиндексные формы. Уравнения
(10.14) называют уравнениями структуры.
Можно потребовать, чтобы (c)*, так же как и со1', были инвариантными
формами и на пересечении окрестностей определялись однозначно. Тогда
определится закон преобразования для коэффициентов X'ki-
Уравнения (10.13) представляют собой необходимые и достаточные
условия для полной интегрируемости системы форм со*., так как внешние
дифференциалы этих форм разлагаются по ним самим. Продифференцируем
(10.13) внешним образом. Поскольку внешний дифференциал от внешнего
дифференциала тождественно равен нулю, получим
0 = со* Л (<4 Л
В силу обобщенной леммы Картана коэффициенты в скобках разлагаются по
тем же формам м1:
D(c)*-(c)* Д (c)j =(c)' Д (c)ы, (10.15)
где (c)ft* - некие новые 3-индексные формы. Снова можно потребовать,
чтобы (c)" были инвариантны на пересечении, т. е. имели глобальный
характер, и продифференцировать (10.15) внешним образом. Тогда получим
D(c)ft/ - (c)ft] Л Wffl + Wft Л o'mi +(c)Г Л Д W\im (10.16)
Здесь появились 4-индексные формы (c)*/т.
Таким образом, получается бесконечная цепочка зацепляющихся
уравнений структуры для бесконечной последовательности форм ю1, (c)ь (c)и,
(c)ft/m, задаваемых глобально на всем многообразии. Эта цепочка уравнений
определяет структуру многообразия. Цепочка обрывается, если начиная с
некоторого количества индексов формы высшего порядка выражаются через
формы низших порядков.
Обычная дифференциальная геометрия соответствует на языке внешних
форм и уравнений структуры простейшему случаю, когда уже 2-индексные
формы (c)* становятся линейными комбинациями
1 -индексных главных форм (c)*:
(c)l=rU'. (10.17)
Коэффициенты разложения (10.17) называют тогда коэффициентами
связности, а формы (c))г - формами связности; ГЦ, вообще говоря,
несимметричны и не связаны с метрикой. Цепочка уравнений структуры
заменяется в этом случае двумя уравнениями, выведенными
105
Картаном и названными им уравнениями структуры пространства 136]:
Deo1' = <?>kf\(?>k + She)1 Лео*;
Dwh = 0)1 Д СО/ + Rklmd>m Л<й1 >
(10.18)
(10.19)
где Ski - тензор кручения; К\Лт - тензор кривизны. Формы оУ по Картану
определяют смещение начала координат dM = оУег, а формы col -
изменение базисных векторов (репера) при переходе от одной точки
многообразия к другой: de* = о)*еА. Для ортогонального базиса в У4 формы
соf определяют лорендевы повороты реперов. В общем случае формы со1
соответствуют пространству первых дифференциалов, со* и со) -
пространству вторых дифференциалов и т. д.
Смысл уравнений структуры становится ясным, если в качестве
многообразия рассматривать какую-либо классическую группу Ли. На ней
введем п линейно независимых пфаффовых форм Иа = = Q" (и, da) = йф
(u)du$. Пусть преобразования из группы va = = ф" (а, и) оставляют
инвариантными, т. е. Qa [ср ^(а, и), duy (a, u)] - Qa (и, du). Тогда вместо
со1 появятся 2-индексные формы где /pv - структурные
константы группы, од
новременно играющие роль коэффициентов связности на группе. Уравнения
структуры (10.14) примут вид уравнений структуры группы:
Дифференцируя (10.20) внешним образом, получим соотношение для
структурных констант группы - тождество Бианки.
Если рассматривается r-мерное пространство представления конечной
группы Ли, структурные уравнения приводят к уравнениям для генераторов
этого представления. Зададим структурные формы представления: AXJ = dxJ
- cJa (x)Qa. Первые интегралы этих уравнений xJ - fJ (а, х) выберем так,
чтобы при а = 1 xJ = = xJ. Тогда при dxJ = 0 получим dxJ = \Ja (x)Q".
Внешнее дифференцирование этой вполне интегрируемой системы дает
дифференциальные уравнения Ли:
В общем случае в каждой фиксированной точке многообразия (точка
фиксируется условием со1' = 0) уравнения структуры для каждой системы
форм принимают вид, аналогичный (10.20). Например, (10.15) переходит в
Dcolk= <"1л(r)п где а>! = dXlkX\- Иными словами, в каждой точке
многообразия имеется система форм, таких, что их внешние дифференциалы
выражаются через них самих, причем коэффициенты разложения постоянны.
Это такая же картина, как в теории групп Ли. Тем самым уравнения
структуры при
= Vs/^AG*.
(10.20)
106
водят к возникновению в каждой точке многообразия пространства
некоторой линейной группы Ли, для которой со1', со}, <0/* и т. д. являются
структурными формами. Например, со', со/ соответствуют второй
дифференциальной группе Ли. Размерность пространства структурных форм
со*', со1/, со}* : п + п2 + п2 (п + 1)/2. Иными словами, над каждой точкой
многообразия возникает новое пространство (слой) с действующей в нем
структурной группой. Многообразие расслаивается, становится
расслоенным многообразием. Слои определяются над каждой точкой
окрестности х и над каждой точкой окрестности у. Над каждой точкой
