Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
отображение всюду ранга п. При этих условиях структура
дифференцируемого расслоенного пространства на Е определяется
совокупностью следующих элементов: В - база; F - типововй слой; cv -
дифференцируемое многообразие; GT - группа Ли, с° - дифференцируемо
действующая на F (группа автоморфизмов F)\ р - проекция Е на базу В; Ф
- семейство гомеоморфизмов топологического произведения U X F на
прообраз р-1 (U), где U - открытое множество пространства В, причем
выполняется ряд условий на Ф. Если F представляет собой групповое
пространство GT, Е называют главным расслоенным пространством-,
если F - касательное пространство к базе, то говорят о касательном
расслоении-, когда F является пространством представления Gr, Е называют
присоединенным расслоенным пространством.
При переходе от одной точки базы к другой происходит изоморфное
отображение слоев, "присоединенных" в этих точках, друг на друга. Если это
отображение тождественное, т. е. движение в базе не вызывает
преобразования слоя, то геометрически это значит, что расслоенное
пространство представляет собой прямую сумму двух пространств. Это
тривиальный случай. Калибровочные группы и связанные с ними
калибровочные поля приводят к нетривиальному примеру расслоенных
пространств. Действительно, выберем в качестве базы пространство-время
К4, а в качестве слоя - групповое пространство некоторой полупростой
группы Ли*.гПри пере- №
* Если группа Gr не полупроста, то может не существовать связанного с ней
риманова пространства, так как метрика на группе будет тогда вырожденной.
109
мещении точки в К4 слой, как говорилось, изоморфно преобразуется. В
данном случае это преобразование принадлежит Gr и зависит от точки У4.
Эти два свойства характеризуют локальные калибровочные группы.
Коэффициенты связности задают отображение слоев, отнесенных к
бесконечно близким точкам базы. Такую же роль играют калибровочные
поля, связывая пространства представлений калибровочной группы. Если
слоем является пространство, в котором действует группа изотопических
преобразований (изопространство), то связь между изопространствами в
разных точках V4 осуществляется полем Янга-Миллса. Если слой
совпадает с касательным пространством, то отображение слоев задается
коэффициентами связности Риччи, отождествляемыми с гравитационным по-
лем. Аналогично и для других калибровочных полей.
Определение связности через векторные поля в расслоенном
пространстве. Рассмотрим пространство, касательное к расслоенному
пространству. Локально оно разбивается на два подпространства,
образующих прямую сумму: пространство, касательное к базе, и
пространство, касательное к слою. Пусть в пространстве, касательном к
базе, выбрано п линейно независимых векторов е^, а в пространстве,
касательном к слою, -г векторов еа, которые одновременно являются
касательными к одномерным подгруппам Gr. Вместе эти (п + г) векторов
образуют базис пространства, касательного к расслоенному пространству
(репер): {е4, ..., еп+г}. Многообразие L0 (р) - пространство реперов - имеет
размерность п (п + г). Векторы, касательные к слою, называют
вертикальными векторами. Если вдоль пути в базе задано отображение
слоев, это значит, что эти слои "пронизаны" семейством кривых,
инвариантных относительно действия группы. Компоненты векторного поля
V, касательного к этим кривым, удовлетворяют уравнениям:
где fbc - структурные константы Gr\ юе, соу, со? - внешние диф-
ференциальные формы.
Вдоль пути в базе полагаем <тЩ = vMt, где t - параметр. Вид
коэффициентов при vb в (11.2) есть следствие инвариантности поля v
относительно действия группы и означает, что все "торчащие" из слоя
векторы имеют одну и ту же проекцию в базе. Можно показать и обратное:
если задано векторное поле уравнениями (11.1) и (11.2), то их интегральные
кривые задают изоморфизм слоев друг на друга. Эти интегральные кривые
называют горизонтальными путями. Для того чтобы определить перенос
слоев вдоль произвольного*пу- ти в базе или, что то же самое, определить
связность во всем расслоенном пространстве, а не только вдоль отдельных
кривых, необхо-
+ vaea = v, \\ = 1, ..., п; а = 1, .... г;
dv ^ + Dvce>v = dt\
dva + + vbfabC со- == v^dt,
(11.1)
(11.2)
110
ДИмо задать п векторных полей, удовлетворяющих уравнениям типа (11.1) и
(11.2):
v = v^efl -f va еа, х - 1 я; (11.3)
XX К
dv" + t/*a%=v\ сои; (11.4)
X J X X
dva -f- О* СОи 'I' vb fbc coc = v° x coK. (11.5)
A A A A
x
Свернем соотношение (11.3) с величинами оъ удовлетворяющи-
И
ми условию vxvv = бл, тогда получим н
Ех = Ф?, -}¦ vx ьа еа = е*. -f Г? еа.
Векторы Ек проецируются в п векторов в базе. Геометрический объект
(11.6)
и
играет роль коэффициентов связности расслоенного пространства.
Из соотношения (11.6) следует, что горизонтальные и вертикальные
компоненты векторного поля о** и va взаимосвязаны:
X X
/117ч
и
Отсюда следует, что, зная коэффициенты связности Г?, можно по проекции
