Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Колмаков Ю.Н. -> "Учебное пособие по курсу Оптика" -> 28

Учебное пособие по курсу Оптика - Колмаков Ю.Н.

Колмаков Ю.Н., Кажарская С.Е. Учебное пособие по курсу Оптика — Тула, 2000. — 124 c.
Скачать (прямая ссылка): optikauchebnoeposobie2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 38 >> Следующая


dr

пх = = WS. dr

Это основное уравнение геометрической оптики или уравнение эйконала. Проинтегрируем уравнение эйконала вдоль траектории луча, распространяющегося из точки 1 точку 2: ¦dS

I rndr = j—dr = J dS = S2-S1.

і i^i

Результат интегрирования не зависит от траектории!

Но если двигаться вдоль истинной траектории луча, то лишь для этой траектории угол между векторами dr их равен 0° и с учетом \dr\ = dl получаем

2 2 2

^nxdr = |и|х I JrI cos0° = jnd? = S2-S1 .

і і і 2

Величина jnd? называется оптической длиной пути луча. Для любой другой

і

2 2 2 произвольной траектории ^nxdr' = jnd?' cos0 =S2-S1K jnd?'.

і і і Получили общий принцип, позволяющий определить истинное направление движения (светового) луча:

В любой среде луч движется по пути с наименьшей оптической длиной:

2

jnd? = min = S2 - S1 (при этом оптическая длина пути равна изменению эйкона-

1

ла).

Это принцип Ферма, определяющий ход лучей в оптике. Подставляя сюда

С Г Г г

п = —, находим nd? = с — =с \dt = cAt = min. Отсюда вторая формулировка

U Iiu 1

принципа Ферма:

Луч (света) распространяется по такому пути, который преодолевается им за наименьшее возможное время.

Уравнение эйконала дает приближенное решение уравнений Максвелла в случае X 0 или к оо. Поэтому из этого уравнения или из принципа Ферма можно получить некоторые законы, полученные в волновой оптике. Например - закон преломления света. 91

Пусть луч света из точки А с координатой х=0 падает на плоскую границу двух сред с показателями ПреЛОМЛеНИЯ П] и П2 в точке Д с координатой je и отражаясь или преломляясь, проходит через точки В или С с координатой х = ?. По принципу Ферма оптическая длина пути в

Lamp =\ndi = nx(AD + DB) =

А

= W1 ^УУ\ + X2 + л]у2 + (?- х)2 j должна быть минимальной на пути ре-

ального отраженного луча, т.е.

dl

отр

dx

= O = H1

1-х

лІУЇ+х2 ^y22+(?-хУ

Отсюда

получаем sina = sin ? или a = ? , т.е. угол падения равен углу отражения!

Аналогично, для преломленного луча должна быть минимальна величина

с

Lnp =^ndl = Ti1 ¦ AD + п2 ¦ DC = Jt1-Jy1 + х2 + n2-Jy2 +(I-х)2 , т.е.

dL„

пр

dx

= O = H1

Il

УІУі +X2

Л г -п

1-х



sina

E 11
А UB С 0
а " 4^ b

= H1 sina - п2 siny = 0, т.е.

siny H1

/

Получили закон преломления (закон Ci іеллиуса-Декарта).

Подобным же образом из принципа Ферма можно вывести формулу линзы.

Испущенные из точки S лучи одновременно! (согласно принципу Ферма -через наименьшее возможное время) соберутся в точке Р, давая изображение источника S.

Действительно, источник света S находится в среде с показателем преломления nj на расстоянии а от сферической поверхности радиуса R , отделяющей среду с показателем преломления H2 .

Лучи света соберутся в точке S', давая изображение источника (на расстоянии Ъ от поверхности раздела сред). 92

Замечание: соберутся только те лучи, для которых выполняется условие параксиальности, т.е. которые расходятся под очень малыми углами а к оптической оси!

Т.е. все формулы линз, используемые в геометрической оптике, справедливы только для параксиальных лучей и с помощью фотоаппарата из таких линз нельзя снимать предметы вблизи ( а вдали - теряются детали предмета).

По принципу Ферма оптические длины всех лучей, собирающихся в точке S', одинаковы, т.е. H1 ¦ SM + n2MS'= пха + п2Ъ или, если провести окружность радиусом SD=SE=a, и S 'M=S 'B=b , то DM -H1=BE-H2. Для параксиальных лучей

а « 0 и /г «/г'; DM « AC = AE + ЕС. Но -J SD2-h2 = a-^a2-h2 = a-aJ 1- -1 .Т.к.

а

«1, TO11-

A

1-

ґН\г

а

и AE « —. Аналогично находим ВС и ЕС. Тогда 2 а

h2 h2

BE = EC-BC =---. Поэтому

2 R 2 Ъ

^h2

h^ — + —

Ia 2 R

^h2

H1 =

,2 Л

2 R 2 Ъ

H, И, H1-H,

H7 или — + — = —-L

а Ъ R

РУ L-<J? I h І
E 1С Об"
а ^ b

Получили формулу сферической поверхности (аналогична формуле линзы). Получим ее теперь другим способом.

Используем закон преломления, полученный из принципа Ферма. Легко увидеть (см.рисунок), что ? =Ot +ф , у =ф - 8 . Но для параксиальных

лучей (малые углы)

ф « вШф

R

H2 _ sin ? ^ ? H1 sin у у h

а «tga « —;

т.е. и2(ф-8) = H1 (а +ф).

rh К

8 «tg8

h b

и

Hn

R b

rh h

+ ¦

a R

In1 или

a b

R

Если источник S находится на бесконечном удалении: а = оо, то он создает

пучок параллельных лучей, которые должны сойтись в фокусе: b=f, т.е.

h \ \ с1
0 'Cj С-si- E ^-?7-

EO=MO=R

SE=a

S'E=b

и, - п, и, ^

2 -L = -^ = D.

R F

Величина D называется оптической силой сферической поверхности.

Пусть теперь лучи от источника S падают на вогнутую поверхность раздела двух сред (см.рисунок).

Тогда а =ф - ?; ? =ф -а ; у = Ф + ? и для параксиальных лучей 93

(малые углы) ф «віпф

R

а «tga

5

а из закона преломления

sin ? siny

Ф-а

т.е.

h h) — + — \ = п, R Ъ) '



п,

V

h h) , ,

---или — + — =

R а

п2-п з

а
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 38 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed