Учебное пособие по курсу Оптика - Колмаков Ю.Н.
Скачать (прямая ссылка):
R
EL
Оптическая сила вогнутой поверхности (b = F при а = оо).
S
^--- и=-
Г;
^se-
F '1
nI-11CPEnbI
Ri
Il2=Ilj
¦ЛИНЗЫ
D = ^ = _l-3
F R
Отсюда следует, что лучи могут собраться в одной точке S' только при Щ <П2, фокусные расстояния для сферической поверхности одинаковы
Fслева Fcnрава При Wj H2.
Как видим, сферическая граница раздела двух сред сама обладает свойствами тонкой линзы.
Оптические силы двух близко расположенных преломляющих поверхностей складываются, и мы получаем формулу для определения оптической силы тонкой линзы:
D
пл~пс
линзы
R
+ ¦
1
R,
п.
линзы
= (пл~пс)
1 1
+
R
2
Замечание: эти законы годятся не только для света, но и для любой другой электромагнитной волны. Чем меньше ее X, тем заметнее лучевые свойства!
2. Распространение света в неоднородной среде
|dr|=d /
п(г;
f+df луч
Снова рассмотрим истинную траекторию луча. Продифференцируем уравнение эйконала по dt, т.е. по длине, отсчитанной вдоль траектории луча:
d / _ dn dx dS
—\пх ) = х--1-п— = V—.
dl ' dt dt dt
Подставляя в это уравнение
dS dS dr _ ^^ dn _ -
— =--=х • VS =х -X -n = п и —=T-Vn ,
dt dr dt dt
dx -
находим n —+x(x-Vn) = Vn.
Это уравнение описывает движение луча в среде с неоднородным показателем преломления п(г). луч
уравнения скалярно на е
94
Введем теперь радиус кривизны траектории луча R (см.рисунок).
Здесь еп - единичный вектор,
задающий направление нормали к траектории.
Т.к. d? = Rdiр и dx = [г |d<p ¦ еп, то dx еп
— = , и уравнение траектории луча
е - -
принимает вид п—+х(х ¦ Vn) = Vn. R
Умножая обе части этого „, получаем, с учетом ё2 = 1, еп -х = О
Отсюда следует, что луч отклоняется в область с большим показателем
и ^ - _ п
- = e-Vn или R =-^—.
R (en-Vn)
преломления: R> 0 при Vn > 0. Это объясняет возникновение миражей (см.рисунок), иллюзии водной глади над нагретым асфальтом, астрономической рефракции.
3. Центрированные оптические системы и ход лучей в них
Если пучок лучей, вышедших из точки P после всех преломлений, отражений и искривлений сходится в одной точке P', то такой пучок называется гомоцентрическим. Точка P' называется стигматическим (точечным) изображением точки Р.
Если поменять местами точки P и P', то лучи, вышедшие из точки P' сойдутся в точку Р. Это -принцип обратимости, следующий из принципа Ферма: оптические пути всех лучей между точками P и Р"(которые называются сопряженными) - одинаковы.
К сожалению, стигматическое изображение получить трудно. Обычно лучи от точки P пересекаются в некоторой области. Так в параболическом зеркале лучи пересекутся не в одной точке, если источник расположен не на оси параболы! К тому же в одной точке будет наблюдаться дифракционное уширение (диск Эйри). 95
Стигматическое схождение гомоцентрического пучка удается получить в центрированных оптических системах , когда центры кривизны всех сферических отражающих и преломляющих плоскостей лежат на одной прямой, называемой главной оптической осью, а пучки лучей параксиальны, т.е. образуют малые углы с оптической осью.
Это - Гауссова оптика ( теорию таких оптических систем разработал Гаусс в 1841 г.)
Изображение П' протяженного предмета П будет резким (контрастным), если оптическая длина лучей между всеми сопряженными точками предмета и изображения одинакова.
если предмет П мал !
Условие равенства оптических путей, пройденных этими лучами: ВС п = А'С' п' или
AB ¦ п sincp = А'В' ¦ п sincp'.
Последнее уравнение - это условие синусов Аббе или теорема Лагранжа-Гелъмголъца.
Если гомоцентрический пучок выходит из точки предмета AB, находящегося в среде с показателем преломления п, расходясь под углом ср, а сходится в сопряженную точку изображения А'В' в среде с показателем преломления п' под углом ср', удовлетворяющим условию Аббе, то изображение будет резким и апланатическим.
Вместо того, чтобы определять путь луча с помощью законов преломления и т.п. используют метод матриц.
Тогда, если лучи BB' и AA' выходят из противоположных точек А и В предмета параллельно под углом ср к оптической оси, то они пересекутся в точке D на фокальной плоскости, а затем дадут изображение А'В'. Их наклон к оптической оси будет практически одинаковым и равным ср',
Il
( Положение и направление И геометрического луча в каждой
оптич.ось
точке оптической системы задают отклонением у от главной оптической оси и малым углом наклона а к этой оси, умноженным на показатель преломления среды данной точке п-а . 96
В другой точке этот луч имеет другие величины у' и п'а', которые связаны с исходными матрицей:
f у \
yfl'CL'J
А В\ С D
Гу\
KnaJ
Достаточно знать три основные матрицы преобразования луча: Y1 j] у ц 1) В однородной среде с одинаковым п
луч идет по прямой и, проходя расстояние і вдоль оптической оси (оптический промежуток), приобретает параметры
'у' = у + Mga хy + tOl^
па
ч
Очевидно
