Оптическая галография - Кольер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Р'г = РуУ + PzZ, g-г = (УуУ + gzz\ (9.49)
Ра = ру+РЇ. о* = о*+о*. (9.50)
Члены, получающиеся после выполнения действий над а, указанных в (9.25), можно сгруппировать как коэффициенты либо при
18-0990
274
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА НА ОБЪЕМНЫХ ГОЛОГРАММАХ
ГЛ. 9.
ехр (— ф-r), либо при ехр (—io-r). При рассмотрении второго члена в (9.25), q2a, членами с экспоненциальными множителями
ехр 1-і (К + р) -г] и ехр 1-і (о — К) -г] можно пренебречь,
поскольку волны с векторами распространения К + р или о — К не удовлетворяют векторному соотношению Брэгга (9.45). Чтобы одновременно выполнялось и уравнение (9.25), и соотношение
(9.45) для произвольных К, коэффициенты как при ехр (—ф-г)г
так и при ехр (—ia-г) должны равняться нулю. Следовательно,, должны выполняться два равенства:
R" — 2ipzR' -P2R + ?2R ~ 2*a?R + 2x?S = 0, (9.51)
S" - 2iezS' — O2S + ?2S - 2ia?S + 2x?R = 0. (9.52)
Штрихи обозначают дифференцирование по z.
Сделав некоторые предположения и введя новые обозначения, можно упростить (9.51) и (9.52). Ранее уже было отмечено, что быстрые вариации волновых функций в (9.42) и (9.44) описываются фазовыми множителями, в то время как R (z) и S (z) меняются сравнительно медленно. Предположим теперь, что R (z) и S (z) меняются настолько медленно, что величинами R" и S" можно пренебречь. В дальнейшем мы проверим справедливость такого приближения. Уравнение (9.51) упрощается, если заметить, что сумма третьего и четвертого членов равна нулю [см. (9.43)]. Рассмотрим теперь сумму третьего и четвертого членов в (9.52), равную S (?2 — о2), и оценим величину множителя ?2 — er2 для случаят когда угол падения 0 отличается от угла Брэгга G0 только на малую величину S, т. е.
9 = G0 + S. (9.53)
Воспользовавшись выражением (9.45), можно написать
= 2рК cos (у - 9) - К2 - 2рК sin Q-K2. (9.54)
Угол между р и К, равный л/2 — 9, показан на фиг. 9.3. В соответствии с (9.53) sin 9 можно записать в виде
sin 9 = sin (G0 + S) = sin G0 cos S + sin б cos 90 ~
ж sin G0 + б cos 90 « -тур- -f б cos 90, (9.55)
Zp
где мы положили sin б « б, cos 8 a 1 и использовали (9.46) и (9.43), чтобы показать, что
sin G0--^ . (9.56)
решение волнового уравнения
275
Подставляя (9.55) в (9.54), получаем
?2-a2 « 2рК [-|- + ocos O0]-Я2
2рК8 cos B0 « /? 2р (2? sin G0) б cos G0, ?2_a2A 2?2Ssin 290.
Обозначим
так что
Г = ?8 sin 2Є0, ?2 _ a2 = 2?r.
(9.57) (9.58)
(9.59) (9.60)
Тогда, пренебрегая производными R" и S", используя (9.60) и вводя обозначения
р cos г|)
Cs = T'
COSlf),
(9.61)
мы можем преобразовать (9.51) и (9.52) к виду
c*R' + ocR = - focS, (9.62)
C8 S' + (a + IT) S = - fxR, (9.63)
где R' = dR/dz иУ- dS/dz.
Эти уравнения связанных волн позволяют понять физику процесса дифракции. Когда при распространении падающей и дифрагированной волн сквозь голограмму пройденное ими расстояние увеличивается на dz, комплексные амплитуды этих волн меняются на dR или dS. Это изменение вызвано поглощением, которому соответствуют члены OtR и aS, или взаимодействием волн друг с другом, описываемым членами взаимодействия xS и xR. Как мы увидим, член iTS в (9.63) соответствует добавочному фазовому множителю в дифрагированной волне. Если угол, под которым распространяется падающая волна, сильно отличается от угла Брэгга, то величина Г будет большой. В результате накопления этой добавочной фазы дифрагированная волна выходит из синхронизма с падающей волной, что приводит к ослаблению взаимодействия.
Уравнения (9.62) и (9.63) представляют собой систему двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Подставляя (9.62) в (9.63), получаем для R одно дифференциальное уравнение второго порядка
(а2-НГа + и2;
CrCs
R = O.
(9.64) 18*
276
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА НА ОБЪЕМНЫХ ГОЛОГРАММАХ
ГЛ. 9.
Решение этого дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами ищем в виде
R (z) = ехр (Yz). (9.65)
Подставляя (9.65) в (9.64), получаем квадратное уравнение для у
Y2+ (J^ +JL, + iL\ Y+ (*2 + *Га + **) (9 66)
Г ' \ Cr 1 C8 ' C8 j 1 1 CrC8 ' V '
решение которого имеет вид
Vi- 2~ 2 Uh + + c5 / =*= 2 L Uh *s cs j ~~ cRc8 j '
(9.67)
где индекс 1 соответствует знаку плюс перед квадратным корнем, а 2 — знаку минус. Частными решениями уравнения (9.64) являются функции ехр (\iZ) и ехр (уг z), а полное решение дается их линейной комбинацией
R (z) = R1 ехр (viz) + R2 ехр (Y2z), (9.68)
где R1 и R2 — постоянные, которые можно вычислить, исходя из граничных условий. Подставляя (9.68) в (9.62), получаем аналогичное уравнение для S (z):
S (z) = S1 ехр (Ylz) + S2 ехр (Y2z). (9.69)
В двух следующих параграфах мы вычислим постоянные R1, R2, S1 и S2 для пропускающих и отражательных голограмм. При рассмотрении пропускающих голограмм предполагается, что решетка не наклонная, т. е. плоскости решетки перпендикулярны к поверхности объемной голограммы. При рассмотрении отражательных голограмм (фиг. 1.12, положение 4) предполагается, что плоскости решетки параллельны поверхности. Мы здесь остановимся только на диэлектрических решетках без потерь, или чисто фазовых решетках, для которых меняется показатель преломления и потери равны нулю, и чисто абсорбционных решетках, у которых меняется коэффициент поглощения, а показатель преломления постоянен. Решетки с наклонными слоями, фазовые решетки с потерями, а также смешанные амплитудно-фазовые решетки рассматриваются в работе Когельника [9.5].
