Оптическая галография - Кольер Р.
Скачать (прямая ссылка):
268
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА НА ОБЪЕМНЫХ ГОЛОГРАММАХ
ГЛ. 9.
виде:
rot rot і; = grad div z4 — V2v, , (9.16)
где V2 — оператор Лапласа. Пре>кде чем приравнять (9.15) и (9.16), покажем, что первый член в правой части (9.16) равен нулю. Рассмотрим для этого уравнение (9.12в)
——> div D = div (є0ег;) = 0.
Это соотношение можно записать иначе с помощью другого векторного тождества (см. [9.7, 9.17*]), которое в нашем случае имеет вид
div (е0еу) = у •grad (є0є) + є0є div v = 0. (9.17)
Поскольку вектор V параллелен оси х, а изменение диэлектрической проницаемости происходит только в плоскости yz, то скалярное произведение равно нулю:
V •grad (s0s) = 0 (9.18)
и из (9.17) следует, что
div I = 0. (9.19)
Комбинируя (9.19), (9.16) и (9.15), получаем
-> ->
vC-^a^--ц0еоЄ^- = 0. (9.20)
Теперь мы можем подставить в (9.20) выражения для v, є и о, соответствующие нашему частному случаю. Так же, как и в гл. 5,
§ 1, мы можем записать вектор электрического поля v, направленный параллельно оси х, в виде скалярной величины
V (у, z, t) = Re [а (у, z) ехр (Ш)], (9.21)
которая не зависит от х и осциллирует с постоянной угловой частотой со. Опустив, как и ранее, символ действительной величины Re [ ], решим уравнение (9.20) для комплексной величины а (у, Z). Подставляя (9.21) в (9.20), получаем
V2 а — ш (X0Ga + co2p,0s0sa = 0. (9.22)
Можно считать, что относительная диэлектрическая проницаемость є складывается из среднего значения є и синусоидально изменяющейся компоненты, имеющей амплитуду S1. Вектор, идущий из начала координат в любую точку среды, можно предста-
вить в виде г = ix + jy -f- kz (і, j Si. к — единичные векторы, направленные соответственно по осям х, у и z). Для принятого нами пространственного распределения диэлектрической прони-
волновое уравнение
269
цаемости поверхности є = const представляют собой плоскости, уравнения которых по аналогии с (5.6) можно записать в виде
—> ->
r-n = const,
где вектор п — единичный вектор нормали к этим плоскостям,
равный Kl \ К |. Величина є в каждой из таких плоскостей опре-
—> -> -> —> —> -> деляется пространственной фазой 2я (г-nld) — К-г, где г-п представляет собой расстояние плоскости s = const от начала координат и где d — измеренное вдоль направления нормали расстояние между плоскостями, соответствующее изменению фазы на 2л.
Все вышесказанное применимо и к проводимости а, которая определяет поглощение; изменение этих величин в пространстве описывается следующими соотношениями:
8 = 8+8! COS К-г, (9.23)
а = O + G1 cos К-г. (9.24) Подставляя (9.23) и (9.24) в (9.22), получаем волновое уравнение
V2a + q2a = 0, (9.25)
где
q2 = k2e — гщі0о + (Zc2S1 — ш[і0сті) cos K •r. (9.26)
В (9.26)
A = (O (HoS0) /я = т = -?-,
где с = (є0(я0)-1/3 — скорость света в вакууме (очень близкая к скорости света в воздухе) и Ка — длина волны в воздухе. Чтобы упростить наши расчеты, запишем
q2 = Ic(I)1'2 [&(S)1/2-
__2taNO_ + 2 /_fei _JCO1Xp^ cos --л = 927)
2fc(e)1/2 V 2(е)1/г 2/^(8)1/2 / J
= ? [? — 2іа + 2? {ехр (i?. г) + ехр (— іК-r)}] =
= ?2-2ia? + 2x? [exp (г?-г) + exp (- i?-rj], (9.28)
где
? == k (г)1'*, (9.29)
a= 0^f1, , (9.30)
2UT (є)1'8
270
дифракция света на объемных голограммах
гл. 9.
J^i (932)
Как будет показано ниже, параметр взаимодействия к имеет особое значение в теории связанных волн. Он описывает взаимодействие между падающей и дифрагированной волнами. Если и = О, то нет ни взаимодействия, ни дифракции.
Оптические свойства среды обычно принято характеризовать не значением диэлектрической проницаемости, а показателем преломления. Чтобы перейти к такому описанию, рассмотрим сначала распространение световой волны в однородной диэлектрической среде с большим затуханием. Решение волнового уравнения, соответствующее плоской волне, проходящей через среду в направлении z, имеет вид
f = А ехр (—Yoz),
где А — постоянная амплитуда и где комплексная постоянная Yo определяется соотношением
Y0 = і (єє0[х0о)2 — ?u.0«a)1/2
(см., например, [9.7]). (Заметим, что мы положили li = 1 и что в однородной среде s1h o1 равны нулю.) Мы можем установить смысл величин ? в (9.29) и a в (9.30), выразив Yo через эти параметры, что дает
Yo = і (?a — 2fot?)1/2 « i? + a.
Это справедливо при условии a <^ ?, которое в большинстве случаев выполняется. Тогда волновая функция в однородной среде принимает вид
I = A ехр (—i?z) ехр (—az),
где ? — так называемая постоянная распространения, а a — коэффициент поглощения. Поскольку ? pi а определены через средние значения диэлектрической проницаемости и проводимости голограммы, то мы можем считать,что ? и а представляют собой постоянную распространения и коэффициент поглощения в эквивалентной однородной среде, где 8 = є и a = a. Это справедливо при условии а <^ ?.
Обозначим через п средний показатель преломления голограммы и показатель преломления эквивалентной однородной среды. Напомним, что показатель преломления равен отношению скорости света в вакууме к скорости света в среде. Поскольку при и = 1 последняя величина равна (ss0lio)~1/2? то мы имеем
