Оптическая галография - Кольер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Прежде чем продолжить обсуждение, заметим, что с помощью выражений (9.65) и (9.67) можно установить, действительно ли мы имели право пренебречь величиной R" по сравнению с pzR' в уравнении (9.51). Из (9.65) находим, что R" = y2 ехр (yz), а из (9.61) получаем pzR' = Y? cos г|? ехр (yz). Таким образом, для я|) < 90° условие R" < pzR' означает, что Y <С ?- Как видно из
ПРОПУСКАЮЩИЕ ГОЛОГРАММЫ
277
(9.67), условие у <€ ? выполняется, если величина Г (пропорциональная S?) очень мала и если удовлетворяются неравенства (9.35), (9.36) и (9.39). Аналогичным образом можно показать, что при тех же условиях можно пренебречь производной S" по сравнению с CT2S'.
§ 6. Пропускающие голограммы
Пусть слева на пропускающую голограмму падает освещающая волна (фиг. 9.4). Как освещающая, так и дифрагированная волны распространяются сквозь голограмму слева направо. Нормируем амплитуду падающей волны R (z) так, чтобы R (0) = 1
У
Недифрагированная волна R
z = O z = T
ФИГ. 9.4. Пропускающая голограмма.
при z = 0. Первоначально амплитуда дифрагированной волны равна нулю, так что S (0) = 0 при z = 0. Записав (9.68) и (9.69) для z = 0, получим граничные условия
R (0) = R1 + R2 = 1, (9.70)
S (0) = S1 + S2 = 0. (9.71)
Используя (9.70) и (9.71) и добавочное соотношение, которое следует из (9.69), а именно
S' (0) = YiS1 + Y2S2,
мы можем решить уравнение взаимодействия волн (9.63) для S1 = = —S2; тогда для z = 0 получаем
Cs (Yisi + Y2S2) = — ис,
278
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА НА ОБЪЕМНЫХ ГОЛОГРАММАХ
ГЛ. 9.
ИЛИ
S1 = —S2 =---,. (9.72)
При таких значениях S1 и S2 из (9.69) можно вычислить амплитуду дифрагированной волны на другой поверхности голограммы при
к
Z=O Z=T
ФИГ. 9.5. Геометрическая схема пропускающей
голограммы с плоскостями пучностей, перпендикулярными поверхности голограммы.
z = T (T- толщина голограммы). Это дает
S{T)==i es (уГ- Y2)[ЄХР ^)-ехр (ЪТ)}. (9.73)
В соответствии с ранее намеченным планом ограничимся случаем, когда плоскости решетки ориентированы перпендикулярно
—>
поверхности голограммы и, следовательно, вектор решетки К параллелен поверхности. На фиг. 9.5 приведены схема расположения векторов и векторный треугольник, соответствующий cootho-
шению (У = р — К, для брэгговского угла падения. Вектор падающей волны р образует угол 0 с плоскостями решетки и такой же
ПРОПУСКАЮЩИЕ ГОЛОГРАММЫ
279
угол г|) = 9 с осью z. Если выполнено условие Брэгга, то 9 = G0, треугольник становится равнобедренным и выполняется соотношение
Cr = •j- = C8 = = cos g0. (9.74)
Мы будем считать, что равенство (9.74) справедливо для всех углов падения (близких к углу Брэгга), которые мы будем рассматривать.
1. Фазовые пропускающие голограммы
Теперь наша цель состоит в том, чтобы найти амплитуду S (T) дифрагированной волны, исходящей из голограммы, для случая, когда а = Ot1 = 0, т. е. для диэлектрической фазовой решетки без потерь. При выполнении вычислений удобно ввести параметры 5 и V, определяемые соотношениями
| = 6?rsin0o = ^, (9.75)
cos G0 Ха cos G0
Из (9.73) видно, что прежде всего нужно выразить через ? и v величины (уі — у 2) і \iT и у2Т- Из (9.67) имеем
Yi-Y2^-|-(52 + v2)1/2, (9.77)
4i.jr=-it±i(l* + v*)1'*. (9.78)
Подставляя (9.77) и (9.78) в (9.73), получаем
S(T)= —і ехр (-?) sin (^ + V2)V2 9
Поскольку амплитуду падающей волны при Z = O мы положили равной единице, эффективность голограммы составляет
Сначала рассмотрим случай, когда свет падает под углом Брэгга, так что S = О и ? = 0. Эффективность будет равна 100%, если sin v = l или если
V= *щТа =4-. (9.80)
Соотношение (9.80) можно также записать в виде
7^г = %- (9-81)
280 ДИФРАКЦИЯ СВЕТА НА ОБЪЕМНЫХ ГОЛОГРАММАХ ГЛ. 9.
Левая часть равенства (9.81) эквивалентна приращению оптического пути падающего луча, которое наблюдалось бы в том случае, если бы среднее изменение показателя преломления среды голограммы было равно щ (фиг. 9.5). Если эквивалентное изменение
ФИГ. 9.6.
Зависимость относительной эффективности г[/г\0 диэлектрической пропускающей голограммы (без потерь) от g = = б (2пп/Ха) T sin Э0 Для различных значений параметра v = nniT/'ka cos Э0. (По Когельнику [9.5].)
длины пути равно половине длины волны падающего излучения (в воздухе), то эффективность становится равной 100%. Таким образом, если голограмма образуется в диэлектрической среде без потерь, то даже при небольших вариациях показателя преломления дифракционная эффективность может достигать 100% при условии, что толщина среды T достаточно велика, чтобы выполнялось равенство (9.81).
Если угол падения отличается от угла Брэгга, то получить 100%-ную дифракционную эффективность невозможно. На фиг. 9.6
ПРОПУСКАЮЩИЕ ГОЛОГРАММЫ
281
представлены результаты расчетов, выполненных по формуле (9.79). По вертикальной оси отложена эффективность rj, деленная на T]0 — эффективность, получаемую при падении освещающего пучка под углом Брэгга. По горизонтальной оси отложен параметр I, пропорциональный угловому отклонению б от угла Брэгга. На фиг. 9.6 приведены три кривые, соответствующие трем значениям параметра v. При постоянной толщине T и данной геометрии пучков, образующих голограмму, параметр v пропорционален амплитуде вариаций показателя преломления, образующихся в результате экспонирования и обработки голограммы. Каждой из кривых на фиг. 9.6 соответствует своя максимальная величина эффективности т] о, которая достигается при ? = 0. Отметим, что при V = л/2 эффективность T]0 составляет 100%, тогда как при V = л/4 Hv= Зл/4 она равна 50%. Фиг. 9.6 иллюстрирует зависимость эффективности голограммы от угла падения для трех значений модуляционного параметра v.
