Оптическая галография - Кольер Р.
Скачать (прямая ссылка):
- = (J-B01jo)1/» =-у, (9_33)
(Wo)'2
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
271
Подставляя это значение в (9.29), получаем
? = -^. (9.34)
Как видно из (9.34), ограничение а <^ ? соответствует условию
а«^-. (9.35)
Следует отметить, что множитель ехр (—az) в волновой функции і при а > 0 соответствует ослаблению. Предположим, что в результате регистрации амплитудной голограммы величина ос оказалась промодулированной; однако при фотографической регистрации коэффициент поглощения не может стать отрицательным. Используя (9.30) и (9.31), равенство (9.24) можно выразить через ос и амплитуду модуляции OC1 и показать, что, когда не выполнено условие OC1 ^ ос, результирующее значение поглощения может
—> —>
оказаться отрицательным (при cos К -г = —1). Поэтому введем добавочное ограничение
Ot1«-^. (9.36)
Аналогично (9.33) показатель преломления голограммы п представим в виде
п2 = є. (9.37)
Выражая п через его среднее значение п и амплитуду модуляции щ и используя (9.23), запишем
_ —> —»•
п2 = (п + Щ cos К-г)2 = є + S1 cos К-г. (9.38)
Допустим, что
щ < п. (9.39) — —> —>
Тогда, возведя в квадрат (п + щ cos К-г) в (9.38) и пренебрегая членом с п\. получим, что п = (е)1/2 [выражение, совпадающее с (9.33)] и
п1 =-?. = -4?-. (9.40)
2тг 2(є)1/2 7
Для объемных голограмм условие (9.39) обычно выполняется. Подставляя (9.40) в (9.31), постоянную взаимодействия и можно представить в виде
JlRi ZQS1 /п /лч
272
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА НА ОБЪЕМНЫХ ГОЛОГРАММАХ
ГЛ. 9.
§ 5. Решение волнового уравнения
Теперь мы должны решить уравнение в частных производных (9.25), т. е. волновое уравнение. Для этого введем некоторые упрощающие предложения. Во-первых, будем решать уравнение (9.25) только для углов падения, близких к тем, которые удовлетворяют закону Брэгга. Именно при таких углах наблюдается дифрагированная волна заметной интенсивности. Во-вторых, предположим, что в голограмме распространяются только две волны — падающая волна и волна, дифрагированная под углом, близким к брэг-говскому. Последнее предположение определяет нижний предел толщины голограммы, для которого справедлива данная теория. Следствия, к которым приводит введение этих ограничений, будут рассмотрены в конце главы.
Комплексную амплитуду падающей волны в толще голограммы можно записать в виде
a* = R (z) ехр (--ір-г), (9.42)
где р имеет направление распространения волны (фиг. 9.3). Здесь
—> —>
фазовый множитель ехр (—Ip-г) соответствует плоской падающей волне, распространяющейся в среде, в которой нет пространственных вариаций диэлектрической проницаемости и отсутствует поглощение. Из (5.7) и (5.11) и рассмотренной нами в § 4 настоящей главы теории распространения волн в однородной среде следует, что
P = I P l = ?, (9.43)
где ? дается формулой (9.34). Фазовый множитель ехр (—ip-r) соответствует быстрым вариациям фазы, связанным с любой бегущей волной. С другой стороны, амплитудный множитель R (z) учитывает медленные изменения фазы и амплитуды волны при ее прохождении через толщу голограммы (т. е. является функцией Z). Эти изменения обусловливаются пространственными вариациями диэлектрической проницаемости и коэффициента поглощения.
Аналогично мы можем записать комплексную амплитуду дифрагированной на голограмме волны:
—> —>
ad = S (z) ехр (—ш-г), (9.44)
где о — вектор, показанный на фиг. 9.3. Если свет падает на голограмму под углом Брэгга, то особое значение приобретает векторное соотношение
O = P-K (9.45)
РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
273
между векторами распространения падающей и дифрагированной
волн и вектором решетки К. На фиг. 9.3 вверху справа приведена векторная диаграмма, графически представляющая равенство (9.45).
Если свет падает под углом Брэгга, то и вектор падающей волны -> ->
р и вектор дифрагированной волны о составляют с плоскостями пучностей синусоидальной голографической решетки угол 0О (угол Брэгга). Как было показано в предыдущем параграфе,
вектор К лежит в плоскости yz, перпендикулярной плоскостям пучностей. Поскольку вектор электрического поля падающей волны направлен по оси х, соответствующий волновой вектор (вектор
распространения) р также должен лежать в плоскости yz. Как
видно из (9.45), вектор а лежит в той же плоскости. Треугольник, образованный тремя компланарными векторами, для случая, когда
—V —у
как р, так и о образуют угол Э0 с рассеивающими плоскостями, показан в нижней правой части фиг. 9.3. Поскольку этот треугольник равнобедренный, р = а = ?, то
"Y = PSmG0. (9.46)
Используя (9.11) и (9.34), получаем
4 = ? sin Є0 = ^ sin 90. (9.47)
Соотношение (9.47) можно также записать в виде 2d sin G0= -=5- (закон Брэгга).
п
Таким образом, (9.45) выражает закон Брэгга для света, падающего под углом Брэгга.
Вернемся теперь к проблеме решения волнового уравнения (9.25). Комплексную амплитуду а электрического поля в любой точке голограммы можно представить как сумму амплитуд падающей волны и дифрагированной волны ad:
a = Ri + ad = R (z) ехр (—ip-r) + S (z) ехр (—ig-г). (9.48)
Подставим (9.48) в (9.25). При взятии частных производных используем следующие соотношения
