Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
-у + -у- da -f- р (1 -f- a) d -i-.
216 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
Но по (24.2) имеем
* = *(,-7Г7 + '"?) =
p(l+a)rfl = -/?(l -\-a)d\a-^- = — Rd [(1+a) -i-J + R In-j-da, далее
получим
d-^=d J31n-^=(l+a)ln-^----------(1 —a) In (1 — a)+ a (2 — 2 In a) J .
Для сравнения напомним, что в случае идеального газа мы имели (см. (6.8),
стр. 33):
d ^ ^ d In 0х == dIn (Тр1-*) = d (-^гу In Т —In Р),
что согласуется (для * = 4/з) с формулой (24.7), если в ней поло-
Посмотрим теперь, как изменятся, в случае диссоциирующегося газа, условия
на поверхности сильного разрыва.
Условия (2.12), (2.13) останутся без изменения. Условие (2.17) мы должны
записать, вводя вместо UjA его выражение по (24.4)!). Ограничимся только
рассмотрением стационарного случая, когда 6 = — Vn и [pV„] = 0. Записывая
\pVn\ = pV„j = Р^л[~]> мы можем представить (2.17) в виде
Введя вновь теплосодержание (стр. 34) /, мы получим
§24] СЛУЧАЙ РЕАЛЬНОГО ГАЗА. «ИДЕАЛЬНО-ДИССОЦИИРУЮЩИЙСЯ» ГАЗ 217
что отвечает совершенному газу, / = ЗДГ + аиа + ? = RT( 4 + а)+ Mda i).
(24.8)
Обратимся к плоскому случаю и будем обозначать значение наших элементов
до прохождения разрыва значком «1», после прохождения— значком «2».
Умножая (2.12) скалярно на п и замечая, что 9 = — Vn, получим
Р\ + Р^, = Р2 + P2vl- (24.9)
Умножая обе части (2.12) скалярно на единичный вектор т, касательный к
поверхности разрыва, получим, как и раньше,
Vr, = Vr,. (24.10)
Pi^PaV (24Л1)
а условие (24.7) даёт нам, в соответствии с (24.10):
+ h = (24.12)
Аналогично тому, что было в случае идеального газа, соотноше-
ния (24.9) — (24.12) связывают пять величин р2, р2, vy2, Т2 четырьмя
уравнениями. К ним надо прибавить (24.2), записанное для р2 и Т2, в
качестве шестой величины будет фигурировать а2.
Анализ формул (24.9) — (24.12) несколько облегчается тем обстоятельством,
что в интересующих нас сейчас случаях—случаях возникновения диссоциации —
величины ^ и рх всегда могут считаться пренебрежимо малыми по сравнению с
v2nj2 и ptv2 соответственно2).
Для того чтобы это показать, обратимся вновь к рис. 76.
Даже для ничтожно малой диссоциации, когда a = 0,05, мы должны считать
T2fTd > 0,0475. Но тогда по (24.8) Т^ил=Т1Та(4 + а)^-т.— = 0,05 -f-
0,0475 (4 -|- 0,05)« 0,25. Таким образом, по (24.12) мы
е громоздкое соотношение,
при a — О получим вновь (5.14) с k = 4/3.
2) Упрощённые условия на скачках, получающиеся путём отбрасыва* ния Pi
и <i* называются «приближениями для очень сильных разрывов».
218 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
должны иметь—i.—j—j——j— >0,25. С другой стороны, при обычных температурах
Тх порядка 300° К, при отсутствии диссоциации мы имеем T/Td < 0,005 и,
следовательно, \jadix = $TjTd < 0,02. Таким образом, даже при ничтожных а
величина ll2v2 должна значительно превышать Ещё в большей степени это
относится к и ру Итак, приближенно имеем
РЛ, = PsV Pivll==:P2+P2vl- + (24.13)
Исключаем v„2 с помощью равенства (24.11):
®Яа = —г»Л1. (24.14)
Pi
Второе равенство из (24.13) дает нам /?2 = Р^л, по (24.14):
= <24Л5>
Наконец, третье из (24.13) даёт нам /2 = -—^ ^1 — т. е.
(24Л6)
Используя (24.8), можем, по (24.16) и (24.15), написать
Или, исключая р2 с помощью (24.3):
RT3 (4 —|— а) —[— а ud = + a> (ii + l).
Отсюда выразим р2/рг через Т2 и а:
* = _37W^ + 1. (24Л7)
Pl ^-7’2(1+«) или если использовать ещё (24.2):
220 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
(Г2«4400°К), в то время как при отсутствии диссоциации мы получили бы по
(24.1):
Т\ 2х(»-1) 7, 2 2 2(»-1) vj
Td~ (Х + 1)* Td MlC0S Ср— (х+1)* RTd’ т. е. при принятых в этом примере
величинах
-^~-Ц^-~0,17б (Г2« 10 000° К).
Любопытной особенностью движений с диссоциацией является то, что величина
p2/Pi имеет определенный экстремум, при котором а «: 0,6 -г- 0,7; этот
экстремум отвечает примерно значениям р2/р!« «13-7-15. Заметим, что для
идеального газа p2/pt монотонно растёт с ростом Mi и достигает
предельного значения только при Mi = oo (ср. (7.10)),
^->^±1, т. е. при * = ±,
Остановимся теперь на выражении для энтропии; посмотрим, что можно
сказать об изэнтропических движениях диссоциирующегося газа.
Аналогично случаю идеального газа мы можем и здесь ввести скорость звука
как скорость распространения малого возмущения. Заметим сперва, что
энтропию 5 вновь можно сштагь функцией только р ир, ибо хотя по
определению S зависит от Т, р и а, мы можем считать, что с помощью
уравнений (24.2), (24.3) Т и а выражены через р л р.
Возвращаясь к системе уравнений (4.14), мы должны заменить лишь последнее
из уравнений этой системы соотношением
/- д/ I ~ df , df\/dS dp , dS <fy \ __ Q
\ x дх y ду г dz dt 1 \ dp dz dp dz J
Повторяя рассуждения § 4, мы получим теперь для квадрата скорости звука
а2 выражение:
fl2=r: dS dS
Если обозначить
а2 = 7 —,
то 7, аналог отношения теплоемкостей, будет зависеть от р и р. Мы можем
представить 7 в виде:
^ dlnp
ДВИЖЕНИЯ С ОСЕВОЙ СИММЕТРИЕЙ
(дифференциалы берутся при dS = 0) и получим, после простых выкладок:
