Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
при 8 = 0 d(vr)j/dQ = 0.
Проведённый О. М. Белоцерковским анализ особых точек показывает, что в
уравнениях (22.40) особенности будут типа «седла», причём во всей
рассматриваемой области интегрирования существует единственное решение,
голоморфное всюду и удовлетворяющее условиям как при 9 = 0, так и при
(т/0)у = а?. Техническая трудность построения такого решения заключается
в том, что в особых точках в правых частях уравнений (22.40) будут
неопределенности типа 0/0. Заранее раскрыть эти неопределенности нельзя,
так так положение самих особенностей и значения многих искомых величин в
них неизвестны. Для возможности счёта в окрестности таких точек можно
поступить, например, так: решение в окрестности регулярной точки 9 = Вг,
близкой к особой, разлагается по степеням (9 — 80) в ряды, по которым оно
достраивается вплоть до особой точки 9 = (k=\, 2, ..., N—1); затем в
окрестности Ьк строятся ряды по (8 —6А), которые дают возможность «выйти»
из особой точки. В случае необходимости значения и других величин в этой
точке могут быть уточнены методом итераций по условиям склейки при 8 = 90
рядов, отправляющихся от Ьк с решением, полученным обычным путём. Как
правило, это делать не приходится, а для возможности «выхода» из особых
точек достаточно бывает знать 2—3 члена разложения.
Продемонстрируем теперь более детальный ход решения на простейшем случае,
когда 7V= 1 («первое приближение»).
Промежуточных линий здесь нет и все подынтегральные функции
аппроксимируются линейно по их значениям на цилиндре и на волне. Искомых
функций будет три: а (9), <р(9) и (v&)s. Функции (i>r)? и (t»9)s на
поверхности разрыва (т. е. (vr\ и (т^Х) найдутся сразу же из (22.13) —
(22.15) после того, как ср (б) известно. Одним из трёх дифференциальных
уравнений, служащих для определения е, <р, (i;9)s, будет уравнение
(22.18), а два других получатся из интегральных соотношений (22.23) и
(22.24). При N=1 каждое из этих соотношений записывается только один раз
— для ri = r1 = r0 + e(8). Соотношение (22.23) приведёт нас к равенству:
-Ж = ?7 7F + 2roPs - 2ri (Р + v'\] + (/> + + + Юг
(22.42)
| 21] ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ 203
Соотношение (22.24) записывается в виде:
Ж + Ж = j[<'. -У-Л-2'.ИЛ]- (22.43)
Здесь (г —s. 1):
= (T'i')i. 4 = ^1-----------1 ’
s. = (рг4йг>г)г (Ss = 0, так как (p,)ssO), причём pi и р, определяются
через (г>8)г и {vr)t с помощью (22.11), (22.12), (22.19) и (22.21).
С другой стороны:
-t m),+(.[<».), W.^]-
Здесь
dp, _ ( * din Я, dy 2_______1______
d0 ~pi| *_i d0 34—1 (^ — 1)2 — 1/^
x[^)i-^rL + (T’e)1-1Wli]}. (22.44)
где d In Dj/dcp находится no (22.19). Подставив из (22.35) выражения
d(vr\jdB и d (ne)i/d0 через rfcp/d0 в (22.44) и (22.43), получим
окончательно
d = р, - с„л », - -L-+_Д_ j),
(22.45)
причём т1 и /гх по (22.13), (22.14) и (22.35) — известные функции <р и 0.
Аналогично,
^Ж~~Ж fcVOi = 0 Ж ~
0 = — (22.46)
Учитывая, что на поверхности цилиндра (vr)s = 0, получим также:
204
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
Теперь из (22.45) и (22.47) мы получим оставшиеся два уравнения
аппроксимирующей системы при N= 1:
d<f _ _J_ Г dst , 2_ 2, 1
~db~ D i d% pi ~ vrh\ ’
rf0 ~~ a\-(vhfs'
Входящие в правые части dsjdd и dtjdb находятся по (22.42) и
(22.43), a dtJdQ определяется из (22.46).
Итак, мы можем выразить defdB, dvjdb, d{v^)sjdb через 9, е, ср, (г<0)5.
Интегрирование системы проводится шагами по 0 от 0 — 0 (направление
набегающего потока), где <р = 0, (х>0)^=:О, е0=е(0)—
приближениях свидетельствует о практической сходимости расчёта. Следует
заметить, что метод интегральных соотношений весьма быстро сходится.
Приведём некоторые результаты расчётов обтекания кругового цилиндра
(г0=1, х~1,40), взятые из работы О. М. Белоцерков-ского'). Расчёты
проводились на быстродействующей электронной вычислительной машине БЭСМ-1
АН СССР. Уже приведённый выше рис. 71 отвечает случаю Moo = tW«co — 3.
§ 221 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ 205
Минимальная область влияния здесь ограничена двумя характеристиками I-го
и II-го семейств (обозначены цифрами 3 и 2 соответственно), что вполне
согласуется со стр. 182. Линия перехода,
обозначена цифрой 4. Рис. 72 показывает, как изменяется форма и положение
ударной волны и звуковой линии при возрастании Моо
от 3 до 5. Там же нанесены результаты эксперимента (точки). Рис. 73, 74,
7-5 иллюстрируют сходимость метода по приближениям
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. 1
для Мсо— 3 и 5: пунктиром нанесены результаты расчётов при N—1, сплошной
линией — при N — 2, треугольниками — при N—Ъ и точками — эксперимент (Г.
М. Рябинков).
Как видим, уже расчёт по первому приближению даёт в основном правильное
положение и форму ударной волны, распределение давления на теле, на
волне. Для определения величин в поле при Моо<^3 надо считать по крайней
мере три приближения, в то время как при Моо > 3 достаточно двух.
§ 23. Движение с очень большими сверхзвуковыми скоростями. Гиперзвуковые
