Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
течения и обтекание тонких тел. В современной газовой динамике, имеющей
дело со скоростями порядка нескольких километров в секунду, возникает
много теоретических и практических вопросов, требующих изучения движения
газа при очень больших значениях числа Моо- Обтекания с очень большими
сверхзвуковыми скоростями обладают рядом специфических особенностей. В §
14, а также в § 19 мы уже обратили внимание на некоторые характерные
свойства движений, в которых Мсо^> 1. В настоящем параграфе мы
остановимся на некоторых общих законах таких движений.
С. В. Валландер доказал (1949) наличие предельного, не зависящего от Моо
состояния течения, возникающего при очень больших Moo J). Покажем, как
это получается для плоского случая.
Пусть обтекаемое тело помещено в поток газа, обладающий скоростью vx.
Образуется поверхность сильного разрыва, после прохождения которой
начинается вихревое обтекание тела. Движение описывается уравнением
Бернулли
JLir.. у _j_ ... -f-? ? - , (23.1)
уравнением неразрывности, которое можно взять в форме (9.2):
dv dv dvv „ dvv
К - ~ V», ^ -5F + («* - *x) -57 = °’ (23-2)
и уравнением для вихря скорости (§ 6):
dvx\_
Vjc \ дх ду )
?) Результаты Валландера были получены также Осватичем (К. Oswa-titsch) в
работе Ahnlichkeltsgesetze fur HyperschallstrOmung, Zs. f. aneew. Math,
u. Phys., 1951.
s 23] ДВИЖЕНИЕ С ОЧЕНЬ БОЛЬШИМИ СВЕРХЗВУКОВЫМИ СКОРОСТЯМИ 207
Вводя а2 из (23.1) в уравнения (23.2) и (23.3) и переходя к безразмерным
скоростям vx/v^ — vx, vylvM — vr получим два уравнения:
Уравнения (23.4), (23.5) содержат три безразмерных функции: vx, v , In я>
и, если не считать х, один безразмерный параметр Моо-Последний входит
таким образом, что при 1 членом, его содер-
жащим, можно пренебречь. Отсюда, однако, было бы поспешно сделать вывод о
независимости нашего движения от М» при весьма больших Моо- Дело в том,
что мы еще не знаем поведения функции 1п& и не учли краевые условия.
Определение In & тесно связано, как известно, с видом поверхности
разрыва. Краевые условия надо будет как всегда записывать на поверхности
тела и на поверхности разрыва. На поверхности тела:
где р — угол наклона касательной к поверхности тела к оси X. На
поверхности разрыва можем написать (см., например, (22.19)):
Отметим теперь, и это является важным обстоятельством, что, в силу
сверхзвукового характера потока, форма поверхности вдали от тела не
влияет на течение вблизи головной части тела. Поток вблизи тела находится
под влиянием лишь ограниченной, наиболее интенсивной части ударной волны.
На этой части coscp будет отличен от нуля. При обтекании тупого профиля
cos убудет близок к единице; при симметричном обтекании клина cos ср
будет близок к косинусу угла раствора клина и т, д. Поэтому, на некотором
участке будет всегда достигаться
(23.6)
О
?)'
(23.7)
Кроме того, по (7.16) и (7.17)
(23.8)
208
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
такое течение, при котором не только Мсо^Э> 1, но и MooCOStf 1. Но тогда
и в краевых условиях (23.7), (23.8) мы можем отбросить член, содержащий
1/ML- Теперь параметр М® остаётся в одном лишь выражении для 1п&:
,п ?=т'» [Gti)‘ мЧ+- Jfi) •
причём член, содержащий Мсо, входит в In & аддитивно. Но In & входит в
формулу (23.3) лишь под знаком производной по координате поэтому в
окончательной задаче полностью исчезнет, и мы получим доказательство
утверждения Валландера !). Закон независимости от Мсо при больших Моо
хорошо подтверждается экспериментально.
Обратимся теперь к специальному рассмотрению обтекания тонких тел при
больших сверхзвуковых скоростях. На примере обтекания пластинки (§ 14) мы
уже видели, что простая линеаризация уравнений по отношению к основному
потоку в случае, когда Моо^>1, не даёт удовлетворительных результатов. Мы
видели, что характерным параметром задачи является, в случае пластинки,
величина Моо I Pol-Для общего случая обтекания тонких тел при Мсо2г> 1
были открыты специальные законы подобия. Это было сделано Цзянем для
безвихревых движений и обобщено Хэйсом на случай движений выхре-ВЫХ 2).
Следуя Г. Г. Чёрному 3), попробуем сперва дать оценки порядка различных
гидродинамических величин нашей задачи.
Пусть, в общем случае, мы имеем установившееся обтекание со скоростью ©оо
на бесконечности тонкого заостренного впереди тела, расположенного так,
что углы между касательными к поверхности тела и основным потоком близки
к нулю. Направив ось X вдоль основного потока, имеем
О (cos (я, х)) = х, (23.9)
где п — нормаль к телу, х — малый безразмерный параметр (например,
относительная толщина тела, наибольшее значение угла, образованного
поверхностью тела с направлением потока, наибольшее значение cos(re, х) и
т. п.), буква О, как обычно, означает порядок величины.
Из краевого условия обтекания следует тогда, что на контуре 0(vy) = xvx,
(23.10)
') В случае безвихревого движения, т. е. в случае отсутствия поверхности
разрыва, доказательство независимости движения от при было нами приведено
