Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
/ 9 2 \
T+rcos2V’ (22ЛЗ)
-tg^/Tf-wA (22.14)
Сочетая (22.13), (22.14) с очевидными соотношениями
<22л5>
получим выражение через <р значений vT и щ сразу же после перехода через
поверхность разрыва.
Функция ф не претерпевает скачка после прохождения разрыва. До
прохождения разрыва мы имеем
194 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. t
Следовательно, на поверхности разрыва
^Ро^1 -jr-) X_1^sin9-
При этом, если поверхность ? имеет уравнение Г = Г„ + «( 6), где г0 —
радиус обтекаемого цилиндра S, то г и ности ? будут связаны очевидным
геометрическим
(т7 = -'е'>):
-5'“-<,'о+<>с,г(т-т-в)-
Наконец, для определения значений & после прохождения разрыва получим,
воспользовавшись формулой (7.10):
"f ©Ч(т)Ч(т)'
(22.19)
Остаётся записать краевые условия на обтекаемом цилиндре. Здесь имеем,
очевидно,
при г — r0 vr = 0 ф —0. (22.20)
При этом, так как 5 является линией тока, то вдоль г — г0 величина Ь
должна сохранять постоянное значение, которое можно получить из (22.19),
полагая там ср = 0. Таким образом,
(22.21)
Теперь, когда записаны дифференциальные уравнения и краевые условия
задачи, перейдём к описанию аппроксимирующей системы, разработанной и
применённой к расчётам О. М. Белоцерковским на основе метода интегральных
соотношений, развитого А. А. Дородницыным.
Разобьём всю область между цилиндром 5 и поверхностью разрыва ? на N
полосок, проводя N— 1 кривую с уравнениями:
/• = г((0) = го + -^е(0), /= 1. 2 М— 1. (22.22)
(22.16)
(22.17) 0 на поверх-соотношением
(22.18)
§ 22] ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ 195
Линии эти отстоят друг от друга на равные расстояния e(6)[N (имеется в
виду расстояние по г при закрепленном 0). Индекс i — N отвечает линии
разрыва Е; индекс I = 1 отвечает первой, наиболее близкой к цилиндру S,
линии и т. д.
В дальнейшем будем обозначать все величины на г'-й промежуточной линии
индексом i, на ударной волне — индексом Е (или N), на поверхности
цилиндра — индексом S.
Обратимся теперь к уравнению (22.8) и проинтегрируем обе его части по г
вдоль произвольного луча 0 — const, от поверхности тела г = г0 до границы
каждой из полученных нами полос. Получим N соотношений (по числу полос)
вида Л<8)
(rpv2r + pr\ — (rpvl + pr)s -f J - ^Wr) . dr _ J ^2p _j_ dr.
далее, вынося дифференцирование по 0 за знак интеграла (слева) и принимая
во внимание определение (22.22) функции гг(0), запишем:
~ j (pv6vr) dr — -R (pv,pr)i -Ц- -f- (rpv2r + pr\ — (pr)s =
— f (feP + p)dr, г = 1, 2,
(K)s = 0).
Аналогичным образом получим из уравнения (22.9)
гг(6)
~ J dr - -i-(t,fjT).+ {rVrX). = о, i=\, 2
Уравнения (22.23), (22.24) содержат интегралы вида Г1 (8)
/ /(г, В) dr.
Аппроксимируем теперь любую подынтегральную функцию интерполяционным
полиномом по г степени N, принимая за узлы интерполяций границы полос:
9)= 2а«(6)[-Т(0гГ' (22-25)
N. (22.23)
N. (22.24)
13*
196 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
Коэффициенты ат(0) определим так, чтобы значения /Д0) = /[гД0), 0] нашей
функции / на линиях /-,(0) точно представлялись с помощью нашей
интерполяционной формулы. Иначе говоря, определим av а2, .... aN из
следующей системы N уравнений
<=Г2 N
S •.&)’ = /,. '=>-2.......N.
) a0 = f0 (значение / при г~г0). Пусть
«о = /о. aa = bjmf0 + ?bjmfj («= 1,2 N). (22.26)
Коэффициенты bjm, b0rn могут быть рассчитаны заранее. Так, для N= 1 имеем
1, *ц = +1.
Для N =2 имеем
Ьт = — 3, &,,= 4, Ь~ = — 1;
*и = —-*п = 9, *2l = —*31 = 1;
&02 — 9. = —у-, *22= iS. *32 = — -
*03 = -- *13 = — *23 = — — *33 = +-
Ориентируясь на (22.25), мы можем теперь вычислить J" / dr. Введем
обозначение:
71Ф)= ) f(r, b)dr. (22.27)
Используя представление (22.25) функции /, мы получим
т +8) N
7<(»)=Е “"<«>/ Р+Т *"•=• (в) 2 тф- Р^П'
(/=1. 2 N)
§ 221 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ 197
или, по (22.22):
/, (9) = * (0) S (^)m+1. (22.28)
г = 1, 2...N.
Достаточно будет вставить сюда вместо ат их выражения из (22.26), и мы
получим /г (для каждого /) через линейные комбинации от значений
fj(J — 0> •••> АО
7<(0) = е(0)(р„/о+Др;</;) (fN = h), (22.29)
/= 1. 2, .. ., N.
Для N= 1
Poi=|. Рп=4'
Для N=2
Poi—24- Ри = ?’ р21 = — 24 <
Pca=4’ Р» = т- Р» = Т-
Для N —Ъ
Р» = т- в - 19 Рп — 72 ’ ви = — 72 ’ Pal — 72 ?
Р<й = 4’ р»=4- Р22 = -gr ’ Рз2 = 0,
Роз = 4’ Й 3 Pi3 ? ’ Р23 = ?f Рзз = 4*
Наконец, удобно будет иметь ещё формулу, позволяющую выразить
/и •••, fдг через Д, /2 Ду, /0. Чтобы получить эту формулу,
достаточно решить систему уравнений (22.29) (записанную для /= 1,
2 N) относительно Д.
Получим выражения типа
<22-30>
Приведём коэффициенты а,, для N= 1, 2 и 3.
Для N= 1
198 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
Для N = 2
а-_1 а-2 а-I
2 ’ ” — Z’ а21 — 2 ’
а02=1, а12 — — 8, а22 = 4.
Для jV= 3
— _1 _i —1 ___±
а01 — з • ап 2 ’ «21 2' аз1 — 6 '
1 R о 2
«02=3- «12 — а22==3’ “32=3'
а ——1 а —— а — — — а — —
Вернёмся теперь к формулам (22.23), (22.24) и запишем их сперва
ж = ж+ ж ~ №+Pr)i+о+о+("’FRh, | (22 31) ("vo*. )
где для сокращения записи обозначено:
