Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
(результат Цзяня). Условия на поверхности разрыва (23.28) — (23.30) также
содержат лишь комбинацию этих параметров (результат Хэйса). Отсюда
принцип подобия, который может быть сформулирован так:
s 24] СЛУЧАЙ РЕАЛЬНОГО ГАЗА. «ИДЕАЛЬНО-ДИССОЦИИРУЮЩИЙСЯ» ГАЗ 213
движения около двух тел, аффинно преобразуемых друг в друга, имеющих
относительные толщины х' и т", будут подобны, если числа Маха М' и этих
движений таковы, что
Уравнения наши распадаются на две группы: уравнения (23.22) — (23.24)
содержат искомые функции v, pv pj и не содержат и; краевое условие
(23.25) и условия на поверхности разрыва (23.27), (23.29),
(23.30) также содержат лишь v, pv рх. Таким образом, задача сильно
упрощается. После того как v, pv рх определены, для нахождения и может
служить уравнение (23.21) и краевое условие (23.28). Проще определить и
из уравнения Бернулли.
Хэйс обратил внимание на то, что уравнения (23.22) — (23.24) совпадут с
уравнениями для одноразмерного нестационарного движения газа вдоль оси Yv
если заменить хх через некое фиктивное время. При этом краевое условие
(23.25) представит аналог краевого условия на поршне, движущемся по
закону F (хv у1) = 0(х1 — время), а условия (23.27), (23.29), (23.30),
как легко видеть, отвечают в точности условиям на поверхности разрыва в
нестационарном случае.
§ 24. Случай реального газа. «Идеально-диссоциирующийся» газ. При
прохождении поверхности сильного разрыва, если сверхзвуковые скорости
движения очень велики, температура может увеличиваться до весьма больших
значений.
В самом деле, комбинируя формулы (7.10) и (7.15), мы получим для
отношения температур Т/Тх на скачке формулу:
(2,„
Если tp = 0 (прямой скачок), то при Mi = 5 будем иметь для х == 1,4 Т/Тх
дй 5,8, а при Мх = 10 Т/Тг^ 20,8; это значит, что если T'i = 280°K, мы
получим увеличение температуры в первом случае примерно до 1642° К, а во
втором — примерно до 5712° К- При таких высоких температурах отдельные
молекулы кислорода, входящего в состав воздуха, начнут диссоциироваться.
Соответствующий пересчёт, основанный на рассмотрении статистической
физики процесса, был проведён, применительно к газовой Динамике, рядом
авторов. Остановимся более подробно на теории Лайтхилла ') «идеально-
диссоциирующегося» газа. Рассмотрим газ, состоящий из двухатомных
молекул. Пусть в нём начинается диссоциация: часть молекул начинает
делиться на свободные атомы. Обозначим через а процентное отношение (по
массе) числа свободных
214
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ основы ГАЗОВОЙ динамики [ГЛ. 1
(возникших за счет диссоциации) атомов
а_ пА+\п2А '
где пА — число диссоциированных атомов (в единице массы газа), пча —
числ0 недиссоциированных молекул (в единице массы газа). По Лайтхиллу
имеем соотношение
= (24.2)
где Та и ра— некоторые параметры. Именно, величина Td = D/k, где D —
энергия диссоциации, k — постоянная Больцмана (&=1,38Х Х10'16 эрг/град)-,
величина же pd представляется более сложно: она выражается через
температуру и некоторые функции распределения; приближенно ра может
считаться постоянным. В этом смысле Лайт-хилл говорит об «идеально-
диссоциирующемся» газе.
Для кислорода Td = 59 000° К, pd=150 г/см3-, для азота Td — 113 000° К,
рй=130 г/см3.
Из рисунка видно, что если при Т я» 1600° К (случай Мх — 5, см. выше),
когда T/Tdtt 0,027, практически ещё нет диссоциации, то при Г=5700°К.
(случай с Жг = 10), когда Т/Та яа 0,097, мы имеем при lgp/Pd = 5 почти
полную диссоциацию (для нижних слоёв атмосферы р?»10_3 г/см3, поэтому
pd/p1,3- 105 и \gpjp^5).
g 24] СЛУЧАЙ РЕАЛЬНОГО ГАЗА. «ИДЕАЛЬНО-ДИССОЦИИРУЮЩИИСЯ» ГАЗ 215
Для частично диссоциированного газа уравнения движения и уравнения
неразрывности остаются прежними. Изменяется прежде всего уравнение
состояния, которое может быть записано теперь в виде p = RPT(l+«),
(24.3)
где R, как и прежде,—газовая постоянная. Для воздуха R = 2,87Х Х106
см2/сек2 ? град\ для кислорода # = 2,59 -10е см2/сек2 ? град, для азота R
= 2,97 • 10 см21сек2 • град.
Изменится и уравнение энергии; при выводе последнего уравнения для
внутренней энергии и(^и=~д’ см- СТР- 17^ теперь придётся написать:
1Га = Та + а' (24,4)
где ad~RTd (в механических единицах). Для кислорода tid— 1.53Х Х10п
CM2jcen2, для азота иа = 3,3>5 • 10й см2}сек2. При а=0 мы получим при
этом U = 3RT. Для идеального газа мы имели (стр. 17) и = ^ , так
что если * = 1,4, то и = 2,5 RT. Формула (24.4)
4
отвечает случаю, когда x = -g-.
Уравнение энергии (аналог уравнения (3.4)) будет теперь иметь вид
p5^T+pS+div( р^=° ^24-5)
или же (см. стр. 20):
p-J- + />div V=0, (24.5')
при этом и выражается через (24.4).
Теперь, кроме функций V, р, р, Т, в качестве искомых величин входит ещё
а, которая связана с р и Т конечным соотношением (24.2).
Как и прежде, уравнение (24.5) описывает факт сохранения
энтропии 5 частицы, ибо по определению энтропии:
du + pd —
dS =-------f—f~, (24.6)
так что, в силу уравнения неразрывности и, по (24.5) имеем dt и-
Используя (24.3) и (24.4), мы получим для dS из (24.6) выражение dS — ~~
