Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
^ 27Tg а (1 — аг) + (2 + За2 — а8)
Т2
т = 1 +
Г2а(1_а2)+3(2-а)(1+а) Г2 ‘
Для крайних значений а = 0 и а=1 получим соответственно ?(=4/з и
•(=5/з1). Интересно отметить, что, подобно p2/pt, величина у имеет
экстремум (для отношений Т/Та, лежащих между 0,04 и 0,10) Для каких-то
промежуточных значений а; в этом убеждаемся из анализа формулы (24.20).
Мы ограничимся сказанным здесь относительно особенностей
диссоциирующегося газа. Вопрос о движении в пограничном слое, влиянии
вязкости, а также диффузии рассмотрен в ряде работ, из которых упомянем
работу В. В. Щенникова2).
В. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА
§ 25. Движения с осевой симметрией. Из пространственных движений
рассмотрим сперва обладающие симметрией по отношению к некоторой оси.
Последнюю примем на ось Oz цилиндрической системы координат; расстояние
от оси будем обозначать через г, полярный угол через 0, проекции
скоростей — через vz, vr, v^ соответственно. Условие осесимметричности
запишется тогда в виде:
dvz ______
60 — 60 z
Кроме того, движение предположим стационарным, так что ни один из его
элементов не зависит от времени. Так как движение происходит одинаково во
всех меридиональных плоскостях (полуплоскостях), проходящих через ось Oz,
мы можем рассмотреть одну такую полуплоскость (z, г). Уравнения движения
примут вид:
1 др 6 V* , / dvr dvz \
J~dF — ~dI'Y + v'\~d^-----------5F7’
16/) 6 V3 / dvr dvz \
W~2 Vz\~dz dr)'
Уравнение неразрывности примет вид:
ло — м — ло* — бо — 0-
условие адиабатичности даст:
222 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
Мы видим, что все уравнения, кроме уравнения неразрывности, отличаются От
уравнений плоской задачи (§ 6) лишь заменой х на z и у на г. Поэтому мы
можем повторить все те выводы, которые мы получили, не употребляя
уравнения неразрывности, в плос-
Введём функцию тока ф(г, г). Из уравнения неразрывности имеем:
/?Р^ =-#?; ^ = -5- (25.2)
и (6.11) заменится на
2=^-т=-^(4т-т?т)~-§- <25'3)
Снова вихри будут отсутствовать, если dijdty — йЭ/йф —0; обратно, если G
—0, будет, вообще говоря, dtfjdty —db/dty = 0.
Обращаемся к условиям на поверхности сильного разрыва (в плоской задаче
это были цилиндрические поверхности, сейчас — это поверхности,
получающиеся вращением около оси Oz\ их пересечение с плоскостью
меридиана назовём линией разрыва); получим, очевидно, вновь (7.1) и
(7.2), а также формулы
р9 [vz] = [/>] cos (л, Z)] р0 [vr] = \р] cos (л, г)
вместо (7.3), (7.4), причём по-прежнему имеют место (7.5), (7.6), (7.7).
Но тогда справедливо и (7.10), где <р есть угол между нормалью к линии
разрыва и осью Oz, а есть скорость до разрыва. Далее, (7.14) запишется в
виде;
= {V-VZJ.
т. е. нам придётся иметь дело с прежней гипоциссоидой. Наконец, всё, что
мы говорили о критической скорости и об уравнении Бернулли (§ 8),
останется в силе, если только заменить там, где они входят, буквы д; и у
на z и г соответственно.
Обратимся к изучению движений со сверхзвуковыми скоростями и привлечём
уравнение неразрывности. Примем, что
о * —- <*.Ъ
го = const.; Q = r—jpp ж,
(25.5)
TF 1"Л + '' (“2 “ <*)] - IF (''"Л + fl2 - =
==(а2-г'*)^-г,Л^-lF + r'lF=-Sf-2-
224 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ (гл. t
плоскости (х, у) характеристики у = у (jc) строятся из vx и vy. Обратимся
теперь ко второму определителю. После простых преобразований получим:
^ V («! - +2»л1 - (»! -«*)-&=
= а[г '(а>-^) + ,л] + ^.
Замечая, что вследствие (25.7) коэффициент при г/ будет равен — Д2)/г',
деля на нег0 и заменяя члены в квадратной скобке правой части по формуле
(25.8), получим:
dvr ^ r v\ — a2 dvz _ aQ Vv2 — a2 a%rr' 1
Вспоминая затем, что
получим окончательно:
вдоль характеристики первого семейства:
1 ( — a3.V v1 — а1 г\
dvr -1 т dvz = | --------2----2 1- -
-«2 ^ г(,2-«2)
вдоль характеристики второго семейства:
1 ( + a&V v2-a2 r'2 a2v.
dvr+—rdvz = j r
Так же, как и в плоском случае, можно обозримый вид,
г;г = г;со8р, v, = trsinp. (25.11)
Мы получим тогда вместо (25.8)
(-?) =^(Р±“)* (25Л2>
§ 261
БЕЗВИХРЕВОЕ ОСЕСИММЕТРИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ПРИ I>>а 225
Формулы (25.9), (25.10) существенно отличаются от формул (9.13), (9.14)
плоской задачи наличием вторых членов фигурной скобки справа. Формулы
(25.13), (25.14) отличаются от (9.24) наличием члена, содержащего dr/r.
Это будет особенно явно в безвихревом случае, к которому и переходим.
§ 26. Безвихревое осесимметрическое движение при v > а. Метод Франкля.
Если вихри отсутствуют, т. е. 2 = 0, будет: вдоль характеристики первого
семейства:
dvr -f- A- dv2 = ^a2Vr 2у r[ dz, (26.1)
вдоль характеристики второго семейства:
dvr -f- Д- dvz = ^ 2 Vr а2у r2dz- (26.2)
Задача об исследовании такого движения была решена впервые Франклем.
Наряду с плоскостью (z, г) рассмотрим плоскость (vz, vT). Совершенно
аналогично тому, как это было в плоской задаче, нашему движению
отвечают точки плоскости (vz, vr), лежащие между кругом v2 —
-f- v2T = а2 и кругом v2 — * а^; это объясняется тем,
