Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
считать, что, с точностью до малых второго порядка,
248 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
уравнение (28.13), следующим образом. Пусть для простоты vx — av Тогда
обе эти величины равны а* и мы можем написать
«.-?• (28.14)
дч>' дч>' д<в' _
где малы по сравнению с а*. Запишем теперь
уравнение (28.5) в виде:
[(* ?+ 1) К - Ф - (* - !) (?у + <Р*)1 Ьх + [<* + !)« - <Ру) -— (*—
1)('Рж+СР2г)]?уу + [(•<'+ — ?2) — (^— 1)(?2+С?у)] <?гг —
— 4 (ЧхЧуЧху + ‘Ру'Рг'Руг + ?/fx?zx) = 0 (28.15)
(это аналог уравнения (15.1)) и оставим лишь главные члены в квадратных
скобках. Именно, в первой скобке мы получим, пренебрегая cp2-f-cp2, \)
а^'х; во второй и третьей квадратных
скобках ос.тавим только 2а?, заменим в остальных членах <рх на а* и
отбросим член, содержащий произведение трёх малых величин: cpVcp' Мы
получим вместо (28.13):
О + !) vWxx + а* ОРуу + bz) — ~~ 2Ь?хг — °- (28-16)
Заметим далее, что если 0(cf/) = e, то порядок v'y будет еЧ
Действительно, пусть порядок v' будет sa; сопоставляя 1-й и 2-й члены
уравнения (28.16), замечаем, что О (ср'у) = О (^^rj = е2> значит
дифференцирование по у имеет порядок в2-0; но тогда по (28.14), так как О
(ср') = О = ?, имеем О (vy) — О = ?3_г- Итак,
?з-<г_?2> т_ Ci а__з^ Аналогичным путём докажем, что О (cf/) = еЧ Но
тогда О (9у9ху) ~ ® (VzVxz) ~ ?3 11 мы можем пренебречь двумя последними
членами уравнения (28.16). Получим окончательно вза-MSH (28.13)
<28-17>
Во втором случае — в случае гиперзвуковых движений — мы получим
уравнения, совершенно аналогичные уравнениям (23.21) — (23.23) плоского
случая. Вывод их очевиден и мы на нём не останавливаемся.
Вернёмся к детальному исследованию случаев, описываемых уравнением
(28.13).
Решение нашей задачи сводится к определению функции Ф' из линейного
уравнения (28.13) с постоянными коэффициентами; при
5 2ft] ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЙ 249
этом давление определится из уравнения (28.12). В качестве краевых
условий надо принять:
д (ФУ+-_Ф1 = 0 (28.18)
на обтекаемых твёрдых стенках, или
pl-\- р' = const.
на свободной поверхности.
Можно указать сразу же ряд замечательных частных решений уравнения
(28.13). Именно, если формально перейти от переменных х, у, z к
переменным х, у, z, так что
=/*=i/"'-f
го уравнение (28.13) перейдёт в уравнение Лапласа, и мы можем в качестве
решения взять, например, потенциал источника, находящегося в точке (0, 0,
0):
Возвращаясь к старым переменным, получим в качестве решения уравнения
(28.13):
Ф'= —у— C°nSt' ?=? (28.20)
/
*»+ 1_* (у2+г2)
Если т»! <5^ ах, то приближённо (28.19) будет иметь тот же вид, «о и
потенциал, в несжимаемой жидкости источника, помещённого з точке (0, 0,
0). Мы можем, таким образом, считать, что потенциал
V
(x-xy+li—l цу-уу + {2.
представляет в сжимаемой жидкости результат наложения потока щ,
параллельного оси х, на источник бесконечно малой интенсивности,
помещенный в точке (х', у', z'). Так как уравнение (28.13) линейно, то
сумма выражений вида
250 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
для разных (х', у', г') и с будет также решением (28.13). Кроме того,
решениями будут функции, получающиеся путём дифференцирования правой
части (28.21).
Потенциалы вида <Dq мы можем теперь использовать для краевой задачи
газовой динамики. Пусть для конкретности речь идёт об
обтекании крыла конечного размаха, бесконечно тонкого и бесконечно мало
отклонённого к оси х. Поместим во всех точках
М'{х', у', z') поверхности крыла источники с потенциалами Фе вида
(28.21), считая, что с есть функция от х', у', г', а затем возьмём Ф' в
виде интеграла от распространённого по поверхности крыла: Ф' (х, у, z) =
— j j' с W) da (28.22)
|/"<* - xy + ^1 - [(y - y')2 + (* - zy]
Вид функции с останется определить из краевого условия (28.18),
которое, если ограничиться малыми первого порядка, может быть записано в
виде
г»! cos (га, jc)-}--^- = 0 на поверхности крыла (28.23)
(так как cos (га, лг) — б. м., cos (га, у) — б. м., cos (га, z)=l+6. м.),
и, таким образом, даст интегральное уравнение для с. Если vl < av то
подкоренное выражение в Ф^ положительно во всём пространстве, и мы можем
действительно распространить интеграл (28.22) на все точки поверхности
крыла. Качественно движение будет происходить здесь так же, как в
несжимаемой жидкости.
Принципиально иначе будет обстоять дело при vl > av Теперь Ф0 будет иметь
смысл лишь до тех пор, пока
(х — xj > — 1) [(у - уУ + (2 — z’f].
Это значит, во-первых, что если мы имеем единственный источник,
помещённый в точке М’ (х\ у', z'), то он будет поставлять потенциал Ф'
лишь в точки М (х, у, z), расположенные внутри прямого круглого конуса,
вершина которого находится в М', ось параллельна оси *, а котангенс
половины угла раствора равен Yv\ 1а\—и^° уравнение такого конуса в
пространстве (х, у, z) будет
(х_х02 = ^_ 1^[(у_у/)2 + (г_г/)г]. (28.24)
Во-вторых, это значит, что если мы имеем ряд источников, помещённых в
различных точках М’ (х', у', г’), то в какой-нибудь точке
