Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
s, = (WV)/. ^ = (22.32)
С другой стороны, в силу (22.30), мы можем записать dsj/db в виде
~Ж = Ж ~ёЩ2] aUsi <so = °) или, выполняя дифференцирование:
dsj 1 dsi 1 de —
~Ж ~ ~7Щ 2а аЧ Ч? — !*Щ Ж 2j aUsi O' = 1 *.2.
(22.33)
Аналогично, для dtjjdb имеем dtj dt0 1 dti 1 de _
“d8 a°J Ж ~ TiSf 2u аЧ Ж — Ж(|у -Jf аЧ*1 0=.....1. 2.A/).
(22.34)
Но теперь мы можем внести в эти два последних соотношения выражения ds-
Jdb, dtjldb из (22.31). Мы получим, выражая еще sf, tt, vjp -)-•р. с
помощью (22.29), систему уравнений, в которых слева будут стоять
производные dsj/db и dtjjdb, а справа — комбинации
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ
199
всех искомых функций (т>в)5, (т>6)х (vH)N\ {vr)v (vr)2 (vr)N\
gЯ,, .. ., Яд-; е (при этом правые части будут содержать производные
dejdB и ещё dtQ/dB).
Получим систему 2N (J = 1, .. ., N) обыкновенных дифференциальных
уравнений 1-го порядка, линейную относительно производных. Система эта
будет содержать 2А/-j- 1 скорости (vr\, (vr)2, ...
. . ., (Vr)N; {V:,)s, (Z>9)x, .... (V9)N (причём (Vr)N = (vr\, (VH)N =
(t»9)s), дг_|_ 1 функцию Я5, Ях, ..., Ядг, а также функцию е(0)— итого
здг_|_3 функции. Чтобы замкнуть систему, сперва обратимся к краевым
условиям. Заметим, что (vr)s, (i»9)s связаны с углом ср соотношениями
(22.13), (22.14), (22.15). Мы можем, поэтому, ввести вместо двух
неизвестных функций (vr)z и (г^ одну искомую функцию ср (угол наклона).
При этом производные, входящие в наши уравнения, будут содержать как саму
функцию ср, так и dyjdb. Именно, для d(vH)JdB и d(vT)Jdb будем иметь
d(vt,)s d(vr),_ df
~Ж~ = ~ ni Ж ~ Wr (22-35)
_j__ dVy ? g dv* g ^ dVjc ? g_^_ dVy gj-
Wj и nv вычисляемые посредством формул (22.13), (22.14) суть известные
функции от ср и 0.
Далее, мы имеем ещё соотношение (22.18), связывающее функции е(0) и
ср(6). Недостающие Л/"—}— 1 уравнения составим, используя уравнение для
дЬ/дЬ. Так как Я зависит лишь от ф, то можно считать Я(. = Я(. (ф.).
Поэтому dbjdb = dbijd^l ? dtyJdB. С другой стороны, ясно, что М.Ь^ЫфО)^ .
так что dbjd^ = (dbjd^)^. На-конец, напишем dbijdift = dbzjdy • d<f/dB •
dft/dtyt и заметим, что в этом выражении йЯ?/^ср может быть вычислено
(через ср) непосредственно по формуле (22.19), a dBjdift может быть
рассчитано по формулам (22.16), (22.17).
Если мы запишем теперь dtyJdQ с помощью соотношения (22.10), в котором
под R(Q) будем подразумевать г;(6) из (22.22), то получим окончательно
d%, / dbz \ d<» Г i de 1 пл
-ЯГ = (-ЗГ jsU,! ь N И-С <»->< J • <22-36>
Это соотношение надо записать для /— 1,2, . .., N— 1. Для i = N(L) имеем
непосредственно равенство (22.19); на поверхности цилиндра будем иметь
постоянное значение Я5 по формуле (22.21).
200
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. !
Таким образом мы замкнули задачу: число уравнений будет равно числу
искомых функций. При этом краевые условия на теле и ударной волне
удовлетворяются автоматически при любом N.
Полученная таким путем система обыкновенных дифференциальных уравнений 1-
го порядка (так называемая аппроксимирующая система) решается численно
шагами по 0. При этом будем отправляться от некоторых начальных значений,
отвечающих 0 — 0. Здесь, однако, мы встретимся с тем затруднением, что не
все искомые функции задаются при 0 — 0. Именно на оси 0 = 0:
Ws = (®«)i = ••• — (vi)jv~i — °> &1 = &2= ••• =&лг-1 =
4*1 = 4»2 = ••• = ФлГ-1 = °-
Таким образом мы имеем 3N—1 условия, в то время как искомых функций 4N—1
(vT и — выражаются на S через ср). Неизвестными оказываются (vr),. (vr)2
... (vr)N_v е(0) (N параметров задачи).
Обратим внимание на то, что наши дифференциальные уравнения будут
содержать подвижные особые точки. Разрешим нашу систему относительно
производных от искомых функций. Мы привели систему к виду, решённому
относительно производных dSjjdQ, dtjjdQ, где Sj и tj определяются из
(22.32) через {vr)j и (<уа)у.. Используя эти связи, получим для у’ —0, 1,
2 N:
tj(vr)j d(vr)j
(22.37)
ds, dt, d(vr), % , , . «Лп&П VVr^ ~d? + 0 ~~db J^rJ dd J ’
(22.38)
где a2j= % ~1 (г>^ах —- v2r — Dg) — местная скорость звука. На обтекаемом
цилиндре (у = 0) надо учесть, что (vr)s = 0 (тогда = 0). На поверхности
разрыва, где j = N(?), справедливо (22.35) и dtJdB, dsz[dQ выражаются
через dy/dQ. Теперь без труда из (22.38) и (22.37) получим выражение для
d(vr)j/dQ (/=1, 2, .... N—1) и d(v,)j/dQ j = 0, 1...........(V—1) через
dtjdb. dt/dH и ds/ldQ (j = 1, 2........N),
л
г
?К
+
г
I
г['
ft
+
"«Г|
Ё
Ч'Т
SI
I Jrtr
е ?
ЬЩ
г х ® 4
1=1 I ||;
si*
202 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
движные особые точки и для возможности непрерывного перехода через эти
точки необходимо выполнение в них А/ условий: при = Clj ДОЛЖНО быть
Ej — 0 (j = s, 1, 2 N— 1). (22.41)
Для удовлетворения этих условий в нашем распоряжении имеется N параметров
при 6 = 0. Теперь задача полностью замыкается. Отметим, что при 6 > 0,
как следует из (22.39), уравнения для d(vr)j/db особенностей не имеют, а
