Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
выше. См. сноску на стр. 156.
г) Т s i е n Н. S., Similarity laws of hypersonic flows. Journal Math.
Phys. 3 (1946), 25; Hayes W. D., On hypersonic similitude. Quart. Appl.
Math. 5 (1947).
3) Чёрный Г. Г., Течение газа с большой сверхзвуковой-скоростью,
Физматгиз, 1959.
3 23! движение с очень большими сверхзвуковыми скоростями 209
ГДе, как и раньше, vx = vJvM, vy = vjv.*,. Это соотношение естественно
распространить и на всю область течения между поверхностью разрыва и
контуром. Но на поверхности разрыва мы имеем соотношения (7.12), (7.15),
из которых следует, что
— ?oJOM{vx — vx) — р — (mLcos2?— l) (23.11)
(Рос, paо—значения р и р до прохождения поверхности разрыва).
С другой стороны, так как касательные к поверхности разрыва,
составляющие скорости, непрерывны, то
vx — vJO = — Kcoscp, (23.12)
ГДе V = Y{v-x—‘^оо^ + т'у- Внося это выражение в (23.11), получим
квадратное уравнение относительно coscp, из которого без труда найдём
________________
где V=Vfa-l?+$. так что
О (cos ср) = У + . (23.13)
Далее, по (7.11) и (23.12) имеем
vy — (vx—l)tg<p — —V sin ср. (23.14)
Но sin if яь 1. Значит,
О (К) = О (V )
или, по (23.10),
О (10 = т. (23.15)
О {VX - va) = Voo^ + -^~y (23.16)
0(vy) = vлх. (23.17)
Наконец, найдём ещё порядок величин р — р& и р — роо. По (23.11) имеем
сперва
так что, используя (23.16), получим
210
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
) (7.10) можем написать
полученных выше оценок j
-(M^x + l^-U
1)2 / ~ М т 4-1 •
0 --7Й Ш ?Нтгтп- (23.19)
Проанализируем теперь полученные нами оценки.
Пусть сперва мы имеем дело с умеренными сверхзвуковыми скоростями, так
что Mo, —1. Наши оценки показывают, что тогда при обтекании очень тонких
тел (т<^1) возмущения всех гидродинамических элементов малы и имеют один
и тот же порядок малости:
же время по (23.13), (23.15) имеем
т. е. наша поверхность разрыва будет иметь наклон того же порядка, как и
наклон характеристики (большой по сравнению с наклоном обтекаемой
поверхности). Мы можем поэтому при исследовании сверхзвукового обтекания
тонких тел, если Моо— 1. линеаризовать уравнения движения по отношению к
основному потоку, обладающему скоростями vx = г^со, vy — 0, давлением рс0
и плотностью роо-
Иначе будет обстоять дело при исследовании обтекания тонких тел, когда
МооТ = 1 или же Мсх,т^> 1. Здесь наши формулы приведут к новым
соотношениям:
«Малость» возмущений скорости сохраняется, но характер этой малости будет
различным для продольных (vx) и поперечных (vy) составляющих. Возмущения
давления и плотности не будут уже малыми; более того, возмущение давления
может иметь тот же порядок, что и самодавление и даже превышать его во
много раз; отметим, что при этом коэффициент давления
§ 231 ДВИЖЕНИЕ С ОЧЕНЬ БОЛЬШИМИ СВЕРХЗВУКОВЫМИ СКОРОСТЯМИ 211
нормали к поверхности обтекаемого контура — поверхность разрыва будет как
бы прилипать к поверхности тела.
Мы видим, таким образом, что метод линеаризации, по отношению к потоку на
со, не применим в нашем случае больших сверхзвуковых скоростей.
Движение с очень большими сверхзвуковыми скоростями около тонких тел
называют в современной литературе гиперзвуковыми.
Выведем теперь, используя наши оценки, важный принцип подобия, касающийся
гиперзвуковых движений. Обратимся вновь к общим уравнениям движения,
неразрывности и притока тепла для плоского стационарного случая.
Выделим основное движение по формуле
vx=vx~v « (23.20)
и перейдём к безразмерным координатам из соотношений:
v'x = if^a. vy == v^xv, p^xpJAlfpv p = pccp1, x = xv у = xyv Теперь
уравнения движения примут вид:
‘1+*,>йг+,,&+г7Й-=0-
Уравнение неразрывности запишется в виде
5^-Pi(l +^2«) + -^- = 0,
и условие адиабатичности даст:
В согласии с приведенными выше оценками, мы можем считать, что
все наши безразмерные функции имеют теперь порядок 1. Считая,
что т мало и отбрасывая член, содержащий т2 (это единственное упрощение,
которое здесь делается), мы придём к уравнениям
&+vW, + f7K7 = 0’ <23'21)
?+v&+j;3h=0- <23'22)
Йг+Т)Г = 0' (23-23)
гйг^+”зк?к=0- <23'24)
14*
212 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЙ [ГЛ. I
Пусть уравнение обтекаемого контура в новых координатах имеет вид F(xv Л)
= 0.
Тогда краевое условие на контуре запишется
<1+Л‘>? + "? = ° или, если отбросить член т2,
ш;+*д?г<>- <23-25>
Далее, на больших расстояниях от тела возмущения пропадают, и мы должны
там написать
иг» = 0, Pl=l, ^ = ^1—. (23.26)
Наконец, выпишем еще условия на поверхности разрыва.
Пусть уравнение этой последней (в новых координатах) имеет вид /(*и Ут) =
0.
Тогда по (7.5) имеем
Р«Р,^ {(14- ^ 1L
или, в нашем приближении:
*(&+•?)-?? <«•»)
Аналогичным образом вместо уравнений (7.3), (7.4) получим теперь
U = Pl (23-28)
а вместо (7.6) будем иметь:
‘it'i-il-n.11 ? <23-30>
Из двух параметров задачи (т и Моо) ни один не входит в уравнения (23.21)
— (23.24) и краевое условие (23.25). Краевые условия на бесконечности
(23.26) содержат лишь комбинацию этих параметров К = ХМ»
