Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, мы можем написать
где с, — произвольная постоянная. Это уравнение сразу интегрируется
где с2—вторая произвольная постоянная. Постоянные сх и с2 мы должны
теперь подобрать так, чтобы при t = Ах/А (характеристика, отделяющая
область I от области IV) было f — — А^/а и при t — — Л2/2
(характеристика, отделяющая I от III) было / = — А%.
Итак, мы исследовали поведение главной части частных решений (21.19)
системы (21.15), (21.16) в сверхзвуковой области, примыкающей к линии
перехода. Эти частные решения будут аналитическими (величина ф и
производная dty/dv, если их получить из (21.28), в точности совпадут со
значениями ф и dty/dv, построенными из аналитического решения Мейера,
данного в начале этого параграфа. Опасность появления скачков может
возникнуть в случае склеивания решений, отвечающих А = Ах и А — А2, но
здесь могут быть даны неравенства, связывающие Ах и А2, выполнение
которых достаточно для безударности решения'). Чтобы построить входную
(дозвуковую) часть сопла, Франкль предлагает теперь использовать ряды
типа рядов Чаплыгина, следующего вида:
где А и с — постоянные.
Детальный анализ, за которым мы отсылаем к статье Франкля, показывает,
что на окружности т = т* будет:
& (0) / = Acxt — 8с2 4- С2 У t — с,.
(21.29)
ф = ^Зр + 0(Р). ±fc = -^- + o(f р). дч V Зр
Ч См. упомянутые выше работы Франкля и Фальковича.
“/** (-»)? «'?•» ?ussawsssrissaw - ?*"•
186
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
[ГЛ.
Исключая из этих уравнений ср, получим для ф:
(21.32)
Уравнение будет эллиптического типа, когда о > О (v < 1, К > 0), и
гиперболического при а<0 (©> 1, К < 0).
Посмотрим теперь, для каких границ и при каких граничных условиях мы
должны решать уравнение (21.32) нашей задачи. Обратимся к плоскости
скоростей и отметим в этой плоскости направления скоростей, отвечающие
стенкам сосуда (рис. 67). Эти направления продолжим до пересечения с
кругом критической скорости.
Назовём точки пересечения А[ и а'2. Проведём теперь из точки А2
эпициклоиду 2-го семейства, из точки С' (vx = at, vy — 0) — обе
эпициклоиды (изображены пунктиром) и из точки А[—эпициклоиду
1-го семейства. Пусть эпициклоиды пересекутся в точках и В2. Вследствие
предположенного симметричного расположения стенок точки Bi и В2 лягут
симметрично относительно оси Ох на одну окружность.
Исследуем сперва частный случай. Именно, пусть давление рх во внешнем
пространстве в точности равно тому давлению, которое по уравнению
Бернулли отвечает кругу В2Вь Такое давление, мы назовём его рв< есть
функция одного только q.
По Франклю, картина движения теперь будет следующей. Точка Л, плоскости
(х, у) отвечает точке Ах в плоскости (vx, vy)\ точка Л2 отвечает точке
Л2. Таким образом линия перехода проходит через края выходного отверстия
(пунктир на рис. 66). Далее, отрезку эпициклоиды A{Bi отвечает в
плоскости (х, у) одна точка Av отре-
0
Рис. 67.
1~=;=Г
тш
‘(К‘х)г = г экл -0 = *??.? +.**?-U *zP ^ ZzP
\Э0 вн о = Ф »« ™ |-=*
ПОСТРОЕНИЕ «БЕЗУДАРНОГО» СОПЛА ЛАВАЛЯ
189
отвечать четырёхугольник B'XF'XDXC'. Аналогично этому, треугольнику A2CD2
отвечает в плоскости (vx, vy) четырёхугольник B2F2D2C ? Далее,
криволинейный четырёхугольник С‘D[e‘D2 плоскости (vx, vy) {d[e' и D2E —
дуги эпициклоид) отвечает в плоскости (х, у) фигуре, образованной
характеристиками CDX, DXE, D2E, CD2 и т. д.
Таким образом и здесь всё сводится к решению (21.32) при условиях
(21.33), (21.34) для областей ОА2В'2С' и ОА[в[с'. Отметим, что эти
последние области будут в точности теми же, что и области в случае, когда
рх = рв. Таким образом, течение внутри сосуда полностью определяется
решением (21.32) и не зависит от величины давления во внешнем
пространстве, если только рх <; рв.
Наконец, в том случае, когда р0 > рх > рв, мы должны рассмотреть в
плоскости (vx, vy) картину, представленную на рис. 70.
Здесь мы должны решить уравнение (21.32) для области OA'xD'\E\c' при
краевых условиях
= вдоль OAxD[e'x,
ф=0 вдоль ОС'.
Также надо решить (21.32) для области ОА'чО'чЕчС' при краевых условиях
ф — — -у вдоль 0A2D'2E2, ф = 0 вдоль ОС'.
Коль скоро решения эти получены и мы выходим в сверхзвуковую область, мы
можем далее вновь применить методы, изложенные
rP^=-|r- pw. = -^--
vrSF
±р'* = *(}). (22.6)
чающееся путем комбинации (22.1), (22.2)
. (22.4), :
?де. как и прежде (§ 8, стр. 42) г?ах==(*+1)/(*-1)а2 (а.-кри-
Р Умножая (22.1) на рг и и
~(г Рц2 +
(,rvrt) -f- -щ (v^x) = 0,
'П1
, (22.4), I
r = R(Q) с
(22Л0>
e 22j ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ 193
жённого (в невозмущённой среде) потока и потенциальную темпера-
туру 1
) скачка, можем
(22.12)
Запишем теперь краевые условия задачи на поверхности разрыва L и на
обтекаемом цилиндре S.
Выразим vr, Vi), ф и & сразу после прохождения поверхности разрыва через
угол наклона ср нормали к поверхности разрыва к оси X. Из уравнений
(7.16) и (7.17) имеем для vx и к (составляющие скорости по оси X и ей
перпендикулярной)
