Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
JL±^_^E i* (21.10)
: личину 7] = 7) (г») из (21.11)
Величина эта будет действительной как при М < 1> так и при М > 1, причём
при v < 1 7j > 0 и при v > 1 7j < 0.
Совершенно элементарные преобразования дадут нам тогда
^-й/ЗЕЕ^о. (21.121
Чу = 0' <2ЫЗ>
и, если обозначим
получим окончательно
°=ч?-т®1р <2||6)
Такая форма уравнений удобна при анализе перехода через скорость звука.
Функция b (tj) может быть представлена около tj = 0 (т. е. около г»=1) в
виде ряда по степеням vj:
b{r\) — b(0)-f- —рр-Л Н~
‘) Ф а л ь к о в и ч С. В., К теории сопла Лаваля, ПАШ, 1946.
211 ПОСТРОЕНИЕ «БЕЗУДАРНОГО» СОПЛА ЛАВАЛЯ 181
По (21.14) при 71 = 0 мы имеем неопределенность, которая легко
раскрывается. Действительно, подсчитаем, например,
(0) = llm (” = (ff llm ?
Так как по (8.9)
lim = Нт у 1 __ М2
и по
(21.11)__________________________________________________________________
____________________
Jim = — Jim 1(У 1 — М2),
Ь (0) = ^(* 4- 1)'/з == (* + 1)’/з. (21.17)
Чтобы выяснить поведение решения около линии перехода (7j = 0), заменим в
уравнениях (21.15), (21.16) член ?(т)) на д(0). Мы получим при этом
главные члены ряда, представляющего точное решение*). Теперь (21.15) и
(21.16) примут вид:
Ь*<0)? = 0; = (21.18)
Пусть ось симметрии сопла есть линия ф = 0. Тогда р (ср, 0) =
0.
Кроме того, т)((р, ф) = 77 (ср, —ф); р (ср, ф) = — р (ср, —ф).
Таким обра-
зом, р содержит лишь нечётные степени <р, a ij —лишь чётные.
Частные, точные решения системы уравнений (21.18) будут полиномы (а не
ряды):
где А — произвольная постоянная. Смысл этой последней легко установить.
Действительно, из (21.19)
/ дтп _ А .
\<*р/ф=0~ Ь (О)2 '
с другой стороны,
дч = дц dv дх _ V1 — М2 dv cos р
d? dv дх v Y ?>! дх v
так что, полагая ф = ср = 0 (точка пересечения линии перехода с осью
сопла), получим
$ц.~-
*) Строго это следует из упомянутой работы Франкля.
182 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
(мы совмещаем начало координат в плоскости (х, у) с точкой ср=ф=0)
А = — Ь (О)2 --~У — • (21.20)
Ось Ох направлена в сторону сверхзвуковых скоростей, так что
{dvx)dx)x^y =0 > 0 и
А <0.
Полиномы (21.19) годятся, конечно, лишь в небольшом удалении от линии
перехода у — О, но зато для всей области движения. Посмотрим, как в
плоскости (ср, ф) представятся переходная линия и характеристики. На
переходной линии по (21.19) будет (7| = 0):
Вдоль характеристик, проходящих через точку [3 = 0, г/=1, имеем (10.6):
± р — С (у), где С (г/) = j' dv.
Но так как sina=^- и ctga^l/M2—1, то, привлекая (21.11),
найдём без труда:
)3/! (21.21)
(т; < 0 при v > 1). Таким образом, вдоль характеристик, проходящих через
точку х = у — 0, будет
р = ± -§-(- т))!/2 (21.22)
(в плоскости р, т) характеристики— полукубические параболы).
Вставляя в (21.22) (3 и -ц из (21.19), получим для характеристик 1-го
семейства:
срг=Аф2 (21.23)
и для характеристик 2-го семейства
= (21.24)
На рис. 65 схематически даны в плоскости (ср, ф) стенки сопла, линия
перехода и обе характеристики.
2IJ ПОСТРОЕНИЕ «БЕЗУДАРНОГО» СОПЛА ЛАВАЛЯ 183
Линия перехода и обе характеристики, выходящие из точки О, делят всю
полосу плоскости (ср, ф), отвечающую решению, на шесть областей. Области
эти пронумерованы на рисунке римскими циф-рЗМИ I — VI, так что, например,
во всей области VI мы имеем дозвуковые скорости.
Посмотрим теперь, будет ли ф всюду однозначной функцией от fi и т). С
этой целью исключим ср из уравнения (21.19). Получим:
Л3ф3 Н- 3 Л*2 (0) т)ф — 3 Ь3 (0) р = 0. (21.25)
Относительно ф это — кубическое уравнение. Оно будет иметь только один
вещественный корень, если
-|р + 7)3>0. (21.26)
Таким образом, в дозвуковой области, в области VI, где т] > 0,
однозначность функции ф, а значит и ср, обеспечена. Далее, (21.26)
сохраняется и при г] <0 до тех пор, пока не будет
-|Р2+ 7)3=0.
Следовательно, однозначность будет иметь место ещё и в областях IV и V.
Итак, в областях IV, V, VI мы можем написать
В частности, на переходной линии, где т] = 0:
-di- = ]Jr3B> причём (21.28)
b (0) г 6(0) дц ^зр
Отметим, что аналитическое решение, которое мы приводили в начале этого
параграфа, давало при т) = 0, как показывает простой подсчёт, те же ф и
дфjdv, что получаются по (21.28). Решение в областях I, II, III
изобразится в виде складчатой поверхности. Интересно отметить, что мы
можем расширить наше решение, предполагая, что в области IV (а значит, и
V и VI) мы имеем (21.19), в которых А = Аи а в области III имеем (21.19),
нос А — А2ФАХ (скачок производной dvjdx скорости в точке О). Оба эти
решения могут быть «склеены» при помощи переходных областей I, II
следующим образом. В областях I. II ищем решение (21.18) в виде
4=/(f)+!; e-f(?)?*>.
Тогда первое из уравнений (21.18) даст
2/-2'4г+*(°)4г=°-
184
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
[ГЛ.
где t = ср/ф2, а второе приведёт к соотношению
b^)f~ — 3F+2/~ = °.
Исключая отсюда F, мы придём к одному уравнению
{Ь2/ + 4,2) г + b2f _ 2 {tf _f)== 0.
Уравнение это можно записать в виде
