Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
х— Ay1 -f- (21.8)
x = -^±±Af+ ... (21.9)
На рис. 62 дана схема расположения линии перехода и обеих характеристик.
Чтобы избежать затруднения, связанного с необходимостью знать
радиус сходимости, Христианович, Астров, Левин и Павлов
предло-
жили способ построения всего течения в эксплицитном виде, а не при
помощи рядов. В основу они положили построение входного отверстия по
методу Христиановича (§ 17). Именно они приняли в качестве фиктивного
потока течение через так называемый насадок Борда. Уравнение этого
течения имеет вид
Иоо (р 4- Ь) = Ф -HW - * -(У+гФ)-Линии тока схематически даны на рис. 63.
Стенки насадка получаются при 1’ = ± тс (v = ± тс/Й^) — линия тока дважды
повторяет стенку насадка.
Отделяя действительную и мнимую часть, получим:
Р = -=-[Ф —е-^сояФ], v = -J-[$ + e-*slnfl.
Линии тока, для которых ? = ± тс/2, могут быть приняты за «стенку» С
фиктивного потока. Уравнения этих стенок будут
178 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
Потребуем теперь, чтобы Vбыло в точности равно тому значению, при котором
соответствующая скорость <ол в потоке сжимаемой жидкости равна единице:
Рсо — 2/г 1 / 0,7579.
V (h 4-1)л+1
Как показал расчет упомянутых авторов, контуры в плоскости (х, у)
укорачиваются, так что линия v = 1 оказывается на конечном расстоянии ').
Далее, весьма существенно то, что линия перехода оказывается отрезком
прямой, перпендикулярной к оси Ох, и вдоль линии перехода скорость всюду
имеет одно и то же направление, параллельное оси Ох (в несжимаемой
жидкости поток стремится к этому направлению на бесконечности). Мы уже
видели в предыдущем параграфе, что прямая линия перехода обладает
преимуществом по сравнению с другими. Тот факт, что линия перехода
прямая, позволяет считать, что разрывов в сверхзвуковой зоне не
образуется. Практически ход построения входной части следующий.
Пересечение прямой перехода с осью сопла принимается за начало координат
в плоскости (х, у) (положительная ось Ох направлена по оси сопла в
сторону сверхзвуковых скоростей, отрицательная — в сторону дозвуковых
скоростей). Начиная от линии перехода (в сторону дозвуковых скоростей),
расчёт стенок ведётся вплоть до тех мест, где 'УяаО.б по формулам типа
(17.2), упрощённых за счёт того, что здесь dxeI; начиная от того места,
где ?уяа0,8, расчёт ведётся по формулам (17.23). В сверхзвуковой части
следует сперва отойти от прямой линии v = 1 путём разложения г» и в ряды,
но не по степеням хну, как это делалось в начале этого параграфа, а по
степеням ср и ф. С этой целью можно использовать, например, уравнения
Чаплыгина (16.9), (16.10), которые можно записать сперва
ду — р0 ду _____ М2—1 ро
dp р dv ’ dv ~v р Op
затем принять за независимые переменные ср и ф, а за искомые функции v и
р и, наконец, принять за неизвестную функцию t = v2—1. Написав разложение
< и р по степеням ср и ф (практически можно ограничиться членами с пятыми
степенями), можно при помощи этих рядов отойти немного от линии v— 1 в
сторону сверхзвуковых скоростей. Определив вдоль линии ср = const,
(упомянутые выше авторы брали ср = 0,44721) скорости в нескольких точках,
можно
') Это связано с наличием множителя VК под интегралом выражений для х
через [л. Ср. приближённые формулы стр. 143.
ПОСТРОЕНИЕ «БЕЗУДАРНОГО» СОПЛА ЛАВАЛЯ
179
затем уже строить сверхзвуковую часть по методу, изложенному в § 12.
На рис. 64, заимствованном из упомянутой работы, изображён профиль сопла,
рассчитанного так, чтобы на конце его было г>= 1,7; тут же дано
распределение давления вдоль оси этого сопла, найденное экспериментально.
Сравнение с рис. 61 подтверждает, что здесь удалось избежать появления
скачка и связанного с ним искажения
1 Ось сопла
О tOO 200 ООО Ш 500 Хмм ООО
Рис, 64.
Наличие плоской поверхности перехода обеспечило «безударность» сопла.
Однако условие, что линия перехода — прямая, является достаточным, но не
необходимым для возможности непрерывности движения. Как показал
ФранкльJ), можно использовать непосредственно уравнения Чаплыгина для
построения входной части безударного сопла. При этом линия перехода
будет, вообще говоря, криволинейной. Франкль показывает, как можно
продолжить ряды типа рядов Чаплыгина (§ 16) в сверхзвуковую зону, и
находит условия, достаточные для того, чтобы решение оказалось
безударным. Главная трудность заключается в том, что функция тока ф,
которая по Чаплыгину отыскивается как функция В и v, оказывается
неоднозначной функцией этих переменных в сверхзвуковой области,
прилегающей
матем Ф9Р 1945 Л Ь Ф' И'’ К теории сопел Лаваля, Изв. АН СССР, серия
12*
180 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. J
к линии перехода. Остановимся несколько на выяснении этого
обстоятельства. Способ изложения, более простой, чем у Франкля, был
дан
позже Фальковичем *). Мы будем придерживаться именно этого
способа.
Уравнения Чаплыгина берём в виде
Ро д'!' ду М2 — 1 ро дф ~&и~ v 7W Примем за независимые переменные ср и
ф, а за искомые функции v и р. Получим
