Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому, попадая в область задней части тела, где давление возрастает,
частицы начинают получать ускорение в направлении от точки В к точке Л" и
в результате касательная скорость этих частиц обращается в нуль где-то на
линии M'6N, проходящей между точками К и В. В области BM3N касательная
скорость частиц получает обратный знак, т. е. возникает возвратное
движение жидкости, результатом которого является срыв завихренных частиц
с поверхности тела и унос их внутрь жидкости. Теория пограничного слоя не
даёт возможности проследить, как меняется в этом случае характер течения
в области BM$N, прилегающей к задней части тела.
Следует, таким образом, различать два случая.
Если мы имеем дело с телом, имеющим очень плавные очертания контура, то
возможно, что срыва вихрей происходить не будет. В этом случае мы можем
сказать, что вне тела имеет место потенциальное течение идеальной
жидкости, и действие сил вязкости сказывается только в пограничном слое.
Если же условия обтекания таковы, что с тела срываются вихри, то за телом
образуется вихревая зона; что касается пограничного слоя, то мы можем
теоретически рассмотреть только ту часть его, которая простирается до
места отрыва вихрей.
Сделаем ещё одно общее замечание. Течение жидкости внутри пограничного
слоя может быть или ламинарным или турбулентным, в зависимости от
значений числа Рейнольдса и от условий обтекания тела, например, от
степени гладкости или шероховатости контура и т. п. Мы будем
рассматривать только ламинарные течения; некоторые соображения о
турбулентном пограничном слое будут изложены в следующей главе,
посвящённой турбулентности.
Перейдём теперь к выводу дифференциальных уравнений Пранд-тля,
определяющих течение в пограничном слое, причём рассмотрим для
определённости случай течения вязкой жидкости вдоль пластинки.
Мы будем, таким образом, иметь дело с плоско-параллельным течением
жидкости; предположим, что внешние силы отсутствуют. Тогда основные
уравнения гидромеханики (5.1) принимают вид:
(28.1)
35 Теоретическая гидромеханика, ч. II
546
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОГ1 жидкости
[ГЛ. II
Дифференциальные уравнения Прандтля получаются в результате надлежащего
упрощения предыдущих уравнений. В основе этого упрощения лежит сравнение
различных членов уравнений (28.1) по их относительной величине. Как мы
уже указывали, толщина пограничного слоя, которую мы будем обозначать
буквой 8, очень мала (см. рис. 173); это выражение нужно, конечно,
понимать так, что мало отношение 8 :1, где I есть характерный размер для
рассматриваемой задачи. Отметим попутно, что толщина о в разных точках
контура и в разные моменты времени может быть различна, так
iy того, нужно отметить, что самое поня-
тие толщины пограничного слоя имеет несколько неопределённый характер,
поскольку в действительности нет ни-
нятия толщины пограничного слоя не повлияет на окончательный вид
уравнений Прандтля. В следующем параграфе мы дадим иной вывод этих
уравнений, свободный от только что указанного недостатка, сейчас же мы
будем следовать Прандтлю.
Составляющая vx может иметь на внешней границе пограничного слоя
различные значения, но все эти значения будут иметь один и ют же порядок,
а именно V, где V есть характерная скорость рассматриваемого течения. На
стенке эта составляющая обращается в нуль. Рассматривая изменение vx в
зависимости от координаты у, мы видим, что при изменении у от 0 до 8
значение vx изменяется от нуля до величины порядка V. Но отсюда следует,
что среднее значение dvjdy в точках внутри пограничного слоя имеет
порядок И/о. Точно так же придем к заключению, что d2vxjdy2 имеет внутри
пограничного слоя порядок П/82. Порядок производных по координате л; мы
можем оценить, учитывая, что составляющая скорости vx при перемещении
точки параллельно контуру С на отрезок порядка характерной длины I может
испытать изменение порядка V; поэтому величина dvjdх имеет порядок V/1, а
величина d2vxjdx2 — порядок И//2.
Но тогда из последнего уравнения системы (28.1)
что о есть функция от л: и t. Кроме
какой резкой границы, отделяющей область пограничного слоя от внешней
области, в которой силы вязкости совсем не учитываются. Однако мы увидим,
что эта неопределенность по-
Рис. 173.
dvx
дх
следует, что dvy/dy тоже имеет порядок Vjl. А так как при у —О значение
vy вследствие условия прилипания равно нулю, то из ра-
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ТЕЧЕНИИ ПРИ БОЛЬШИХ R
547
венства
V
диУ v dy
Vy=f
о
ду
найдём, что vy внутри пограничного слоя будет иметь порядок Vb/l. Далее,
для величины dvy/dx находим порядок Vb/P, для d2vy/dx: порядок Vb/P и,
наконец, для d2vy/dy2 порядок Vjlb.
Ясно теперь, что в первом из уравнений (28.1) мы можем отбросить член
d2vjdx2 порядка Vjl2 как малый по сравнению с членом d2vjdy2, имеющим
порядок Vjb2, ибо отношение 7т :'р'= (у)”
есть квадрат малой величины.
Итак, первое уравнение системы (28.1) принимает следующий вид:
Y/* _L ч, dv* Л-т, dV* — 1 др _1_ v ^ ГОЯ оч
