Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
техники случаев ламинарного движения вязкой жидкости является движение
смазочной жидкости между цапфой и подшипником. Более того, в этом случае
числа Рейнольдса бывают обычно очень малы, так что мы имеем право
применять приближённые методы решения.
Законы трения, имеющие место при наличии смазки, резко отличаются от
обычных законов сухого трения. В первом приближении сухое трение
определяется законом Кулона, по которому на единицу поверхности трущихся
тел при их скольжении друг по другу действует касательная сила Г,
определяемая формулой
Т — kN, (27.1)
причём коэффициент трения k принимается не зависящим от величины
нормального давления N, величины трущихся поверхностей и их относительной
скорости.
Обозначим для случая трения в подшипнике через Р нагрузку, приходящуюся
на цапфу, через г — радиус цапфы и через М — момент сил трения
относительно оси цапфы. Если бы для этого случая можно было применить
закон сухого трения, то сила трения была бы равна kP, плечо этой силы
относительно оси цапфы равняется г, и следовательно, момент сил трения
определялся бы формулой
М = kPr. (27.2)
В 1883 г. Н. П. Петров высказал положение, что в трении подшипников
основную роль играет внутреннее трение смазочного слоя, и установил
соответствующий закон трения для простейшего случая. Он исходил из
рассмотренного нами в § 15 движения вязкой жидко-
ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СМАЗКИ
535
сти в области между двумя цилиндрами. Он предполагал, правда, что
жидкость может скользить по поверхности этих цилиндров, причём
развивается внешнее трение, пропорциональное относительной скорости
скольжения жидкости вдоль поверхности цилиндра. Если принять, как это
всегда теперь делается, условие прилипания жидкости к ограничивающим
стенкам, то решение Н. П. Петрова совпадает с решением, изложенным в §
15.
Для теории смазки имеет значение случай, когда внутренний цилиндр радиуса
гг = а вращается с угловой скоростью ш и, следовательно, с окружной
линейной скоростью U = ша, а наружный цилиндр радиуса г2 = а-)-8(8—
толщина смазочного слоя) остаётся неподвижным. Для момента сил трения мы
получим в этом случае формулу (15.5)
4дам г? Го
М = 1а2-, (27.3)
г2 Г1
величина 8 всегда очень мала; поэтому мы имеем приближённо; r\ — r\ = (г2
+ гх) (г2 — гх) « 2а8,
отсюда
., 2я/хш а3
Так как мы рассматриваем момент, отнесённый к единице длины цапфы, то
площадь смоченной смазкой поверхности Д = 2-гса; введём далее вместо ш
линейную скорость U, тогда предыдущая формула примет вид:
Ж = (27.4)
эта формула и должна заменять формулу (27.2) для случая трения смазанного
подшипника. Из неё видно, в противоположность формуле (27.2), что момент
сил трения не зависит от нагрузки на цапфу, но зато растёт вместе со
скоростью U.
Однако всё это справедливо только в первом приближении. В самом деле,
основное допущение Н. П. Петрова о том, что цапфу и подшипник можно
рассматривать, как соосные цилиндры, не может соответствовать
действительности, ибо при этом допущении силы трения будут распределены
симметрично относительно оси цилиндра и очевидно, что главный вектор этих
сил трения сведётся к нулю; эго означает, что цапфа не может нести
никакой нагрузки. Решение Н. П. Петрова соответствует, таким образом,
случаю очень малой нагрузки.
Более общее решение мы получим, если примем, что цапфа расположена
относительно подшипника эксцентрически, причём смазка может заполнять или
всё пространство между цапфой и подшипником, или же часть этого
пространства,
536
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ жидкости
[ГЛ. и
Мы рассмотрим, следуя А. Зоммерфельду, приближённое решение плоской
задачи о смазке для случая, когда жидкость заполняет всё пространство
между цапфой и подшипником, длину которых будем считать очень большой. В
соответствии с этим под цапфой и подшипником будем понимать их сечения,
нормальные к оси.
Пусть О обозначает центр цапфы С, О' — центр подшипника С' (рис. 170).
Расстояние ОО' обозначим через е и примем прямую ОО'
за ось полярных координат г, б, а точку О—за центр этих полярных
координат. Радиус цапфы С обозначим через а, внутренний радиус подшипника
— через а-f-S. Уравнение окружности С' можно написать в виде
г = a -f- h,
причём с достаточной степенью точности можно принять, что
h = 8 -j- е cos 0,
как показывает простое геометрическое вычисление.
Обозначая, наконец, окружную скорость точек цапфы через U, легко можем
написать следующие граничные условия:
vr = 0, v$ — U при г = я,
vr~Q, Vi, — 0 » г = а -|- h.
Примем теперь во внимание, что величина Ь/а очень мала, отсюда следует,
что величина dvjdr будет очень велика в сравнении с величиной 1
/rdVfj/дО. В самом деле, т;0 изменяется от 0 до U на очень малом
расстоянии h, имеющем порядок 8, поэтому производная dvjdr имеет порядок
U/Ь, в то время как производная дг^/дб имеет порядок U, и следовательно,
l/rdv^/dO имеет порядок U/а. Точно так же порядок производной d^v^/dr2
равен Ujb2.
Рассмотрим теперь второе уравнение (5.14). В этом уравнении мы
