Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кочин Н.Е. -> "Теоретическая гидродинамика. Часть 2" -> 131

Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.

Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидродинамика. Часть 2 — Физматлит, 1963. — 728 c.
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskayagidrodinamika1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 125 126 127 128 129 130 < 131 > 132 133 134 135 136 137 .. 183 >> Следующая

7? + vl?-' (28’2)
Второй и третий члены слева имеют, как показывает простой подсчёт, один и
тот же порядок V2jl, второй же член справа имеет порядок Wjb2. Отношение
сил вязкости к силам инерции имеет, таким образом, порядок:
vV V2 _______ ч1 v /Г
~ЬГ '~Г~ W ~’ TV \ъ
R
(тГ
Прандтль принимает, что внутри пограничного слоя силы вязкости и силы
инерции имеют одинаковый порядок: но тогда величина D (5 \з w
К (т* 1 — ~ту должна иметь порядок единицы; иными словами, величина ь/l
должна иметь порядок l/l^R. Мы получаем, таким образом, первый результат
теории пограничного слоя: образующийся при течениях с большими числами
Рейнольдса R пограничный слой имеет толщину 8, порядок которой равен
ijYR, т- е-
Приведём простой численный пример: возьмём 1= \ м— 100 см, V~\ м/сек =
100 см/сек, v = 0,01 см2/сек (вода при 20° С),
тогда ~ = 0,1 см=1 мм. Как видно, толщина образующегося
пограничного слоя очень мала.
В уравнение (28.2) входят ещё члены dvjdt и (1/р)др/дх\ мы оудем
предполагать, что изменение течения со временем, если оно происходит,
совершается столь плавно, что порядок dvjdt не превосходит порядка V2/l,
тогда член (1 /р)др/дх сам собою должен будет иметь тот же порядок V2jl.
548
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. II
Переходим теперь к рассмотрению второго из уравнений (28.1). Мы без
всякого труда найдём, что порядок левой части этого уравнения равен
V4jl2, Точно так же для порядка сил вязкости, входящих в правую часть
этого уравнения, найдём, по вышесказанному, выражение yVjlb, имеющее, по
сделанному выше допущению Прандтля, тот же порядок, что и выражение
V2b/l2.
Мы видим теперь из второго уравнения (28.1), что (1 lp)dpjdy имеет
порядок V2bji2 в то время, как (l/p) dpjdx имеет порядок V2jl. Но это
означает, что градиент давления в направлении нормали к контуру очень мал
в сравнении с обычными значениями градиента давления. Поэтому можно с
большой степенью точности заменить второе уравнение системы (28.1)
простым уравнением
-g- = 0. (28.3)
Мы получаем таким образом второй результат теории пограничного слоя:
давление внутри пограничного слоя не меняется вдоль нормали к контуру
тела и равняется, следовательно, тому давлению, которое имеет место на
внешней границе пограничного слоя в рассматриваемом месте. В предыдущем
параграфе мы уже воспользовались этим результатом при рассмотрении
качественного характера течений вязкой жидкости при больших числах
Рейнольдса.
Итак, задача определения течения вязкой жидкости в пограничном слое
свелась к решению следующей системы:
dvx . dv,. 1 др
— — -
dt ' х дх У ду р ill 1 ду!
dv* dvv
дх ду
(28.4)
Здесь vx и -и суть неизвестные функции от х, у и t, ар есть заданная
функция от х и t.
Если можно принять, что вне пограничного слоя течение жидкости есть
потенциальное течение идеальной жидкости, то р(х, t) совпадает со
значениями давления этого течения на внешней границе пограничного слоя, а
так как толщина пограничного слоя очень мала, то за р (х, t) можно взять
просто значения давления этого течения в точках самого контура С. Если же
с тела срываются вихри и последние сильно видоизменяют картину течения
пограничного слоя, то приходится р брать на основе экспериментальных
данных.
Функции vx и vy должны удовлетворять следующим граничным условиям: во-
первых, на стенке должно выполняться условие прилипания
vx = v = 0 при у = 0, (28.5)
ВЫВОД МИЗЕСА. УРАВНЕНИЕ МИЗЕСА
549
н, во-вторых, на внешней границе пограничного слоя, т. е. при v .= 8,
составляющая vx должна переходить в соответствующую составляющую vx
скорости течения вне пограничного слоя. Как выше в случае давления, можно
за vx принять составляющую скорости в точках самого контура С: для
краткости мы обозначим эту составляющую через U (х) = (vx)c. Кроме того,
ввиду неизвестности 8, мы можем потребовать выполнения граничного условия
при у = со вместо у = 8, т. е. потребовать, чтобы vx асимптотически
приближалось к U. Тогда при у = 8 величина vx будет очень мало отличаться
от vx~U, и мы получаем такое граничное условие:
Наконец, в случае неустановившегося движения нужно принимать ещё во
внимание начальные условия: при t — 0 vx должно приводиться к
заданной функции от х и у.
§ 29. Вывод Мизеса. Уравнение Мизеса. Дадим теперь вывод основных
уравнений Прандтля, основная идея которого принадлежит Мизесу '). Этот
вывод носит более формальный, но в то же время более строгий характер. Из
него ясно вытекает, что уравнения Прандтля являются предельной
формой уравнений гидромеханики
вязкой жидкости, получающейся при определённых условиях при
устремлении числа Рейнольдса R к бесконечности.
При этом выводе нет никакой необходимости ограничиваться случаем
прямолинейного контура. Итак, положим, что мы имеем дело с обтеканием
криволинейного контура С.
Мы будем исходить из тех же основных уравнений гидромеханики (5.1), что и
в предыдущем параграфе, только напишем их в безразмерном виде. А именно,
если / есть характерная длина, а V — характерная скорость, то мы введём
Предыдущая << 1 .. 125 126 127 128 129 130 < 131 > 132 133 134 135 136 137 .. 183 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed