Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
/„(*/?)= i+i(*')21 {krY 1
22 V"" > т- (2 . 4)2 ' - • -
к* г*
К0 (kr) = - /0 (kr) In (I TAr) + + (l + y)
) (2 • 4)2 ^
где f— постоянная Маскерони (к = 1,7811; In 7 = 0,57722). Ограничиваясь
самым первым приближением, мы можем принять, что
KQ(kr)tt — In Q- 7kr},
дК0 (kr) I x cos 0
dx ~ r r r '
поэтому вблизи цилиндра, считая ka малым, будем иметь приближённо у = — U
— C0[ln ^ 7 kr}-\- kr cos 0 In 7 kr'j j — Ct C°^ S . (26.12) Теперь мы
можем вычислить по формулам = *cos9: (26.13)
’) См., например, Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. III, 1939,
стр. 687 или Кузьмин Р. О., Бесселевы функции, ГТТИ, 1935.
§26]
ДВИЖЕНИЕ ЦИЛИНДРА
531
приближённые выражения для проекций скорости вблизи цилиндра;
= А _ ^ cos_6_ и cos q — г г г2 1
Сj cos 0
Vr
С° { 2kr
v0-
A, sin I
2
? U sin
lnhrT кгУ
2kr2 Cj sin 0 2 kr2 '?
(26.14)
при вычислениях мы отбрасываем некоторые члены, малые в сравнении с
оставляемыми, а именно, вычисляя ^cosS и ^ sin 0, мы пользуемся ещё более
упрощённым выражением для ??.
U — C0 In (J-
кроме того, в выражении для ср берутся только два первых члена.
Полагая в полученных формулах г —а, составляя равенства vr(a, 6) = v$(a,
в)—0 и приравнивая нулю коэффициенты при 1, cos 9 и sin 6, приходим к
трём уравнениям для определения четырёх коэффициентов: А0, Аи С0, Сх:
Аа С0
?А-+и-
а2 '
откуда легко находим:
-v-Щ- m.(i ?
2 U
а 2ka
4Н_ ka\ -4- с,
2ka2 С\ _
О,
О,
4v
[l — 2ln 1— 2\n
C0 — ?
C,
w
— 21n^y tkaj Ua2
2k
-21n(I
(26.15)
При принятой степени приближения коэффициенты Ах и Сх по отдельности
определены быть не могут. Подставляя найденные значения коэффициентов в
формулы (26.14), находим выражения для проекций скоростей, пригодные в
области вблизи цилиндра:
С'С08‘ ^[-1+? + 21пТ],
vr~
1— 2In (ypfeo)
U sin 0
1 — 2 In
(т
[l_?+2lni].
(26.16)
34*
532
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
ГГЛ. п
На больших расстояниях от цилиндра, беря только члены, содержащие Л0 и
С0, и рассматривая абсолютное движение цилиндра в жидкости, покоящейся на
бесконечности, будем иметь:
vr — ^ C0ekr 005 6 [Ко (kr) — cos ВК0 (kr)].
v9 = ^C^ cos ®/C0(Ar) sin 0.
(26.17)
Из теории бесселевых функций известно, что для больших значений аргумента
имеют место асимптотические формулы
Отсюда вытекают заключения, совершенно аналогичные тем, которые мы
делали, рассматривая движение сферы. А именно, рассмотрим семейство
парабол, зависящих от параметра а:
kr (1—cos 9) = а. (26.18)
Если а достаточно велико, то vr мало отличается от A0jr, т. е. в области
вне некоторой из парабол (26.18) движение мало отличается от движения,
соответствующего источнику с интенсивностью
Q = 2%Aq — — ------------------------------ (26.19)
k 11 — 2 In I ?~2 yka jj
Напротив, если a— порядка 1, но kr велико, то cos 9 будет близко к 1, и
мы будем иметь следующую приближённую формулу:
?С0в-«|/Л (26.20)
показывающую, что за цилиндром жидкость увлекается вместе
с цилиндром.
Для вихря мы легко находим по формулам (26.2) выражение
dv,, dvr ду и I v
= C^r^K'o(kr)kArLb\ (26.21)
на больших расстояниях от цилиндра мы будем иметь:
Q = — C0yr (26.22)
Как рассмотрение скоростей течения, так и рассмотрение вихрей приводят к
одинаковому заключению об асимметрии течения; перед цилиндром течение
носит потенциальный характер, за цилиндром — вихревой.
§ 2в] ДВИЖЕНИЕ ЦИЛИНДРА 533
Приведём теперь формулу для давления; вследствие (26.5) и
(26.6) имеем:
ТТЛ COS 0 . ттл COS 20 I /пг1 г»о\
Р = Ро — PUA0 —7-Jrr?UAl —7г f-. . . (26.23)
Вычислим, наконец, сопротивление, испытываемое цилиндром; общая формула
W = j" (ртт cos 0 — ртН sin 0) ds
в данном случае упрощается:
2%
W = a J (— рсos 6 — P-~?r sin 0) dd. (26.24)
о
Так как в полярных координатах вихрь выражается формулой
0 J_ д {гуй) 1_ dvr дщ_ . щ_ 1_ дуг
г дг г дв дг ' г г дв ’
и так как на контуре цилиндра vnT=vr — -~- = 0, то на контуре цилиндра
будем иметь формулу
— Q — Oil
дг У ду
Теперь нетрудно найти значение подынтегральной функции в выражении
(26.24):
р cos 0 -j- [a sin 0 — р0 cos 0 pU cos 0 -f- Р sin 0 =
= p0 cos 0 — pU cos 0 — Sin fj'j .
Так как на поверхности цилиндра <иу = 0, то вторая из формул (26.2)
показывает, что
_L_^_________
2k ду ду ’
и так как ещё
cos е-ЬSin 0 = ,
дх 1 ду дг
2тс
J Pq cos О db = О,
то мы приходим к следующему общему выражению для сопротивления цилиндра:
534
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ жидкости
[ГЛ. и
Но по формуле (26.6) мы имеем на поверхности цилиндра:
ду А0 At cos 0 . 2А2 cos 20
дг а а2 ' а3
и ясно, что
W — 2itp UА0. (26.26)
Подставляя найденное выше значение Л0, получаем формулу Ламба для
величины сопротивления, испытываемого цилиндром при его движении в вязкой
жидкости, причём эта сила отнесена к единице длины цилиндра:
=^----------------. (26.27)
1 — 2 In у~2 1ка)
Конечно, следует ожидать справедливости этой формулы только при малых
значениях числа Рейнольдса R, как это и подтверждается опытами.
§ 27. Гидродинамическая теория смазки. Одним из наиболее важных для
