Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кочин Н.Е. -> "Теоретическая гидродинамика. Часть 2" -> 124

Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.

Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидродинамика. Часть 2 — Физматлит, 1963. — 728 c.
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskayagidrodinamika1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 118 119 120 121 122 123 < 124 > 125 126 127 128 129 130 .. 183 >> Следующая

(23.16). При этом мы воспользуемся формулой (25.31), чтобы получить
функцию тока для движения сферы в жидкости, покоящейся на бесконечности,
в соответствии с рис. 169 вычерчен-
(25.34)
3 Ua
2
(1+^)
3ka\
4 ) г
В результате находим:
откуда
(25.35)
(25.36)
§ 25]
УТОЧНЁННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ СФЕРЫ
527
ным при этих же предположениях. В результате простого вычисления находим:
\Р(л 0) = — i^(2+i|i)(i-4-Cos6)[l— e-*Mi-cosS)]. (25.37)
Покажем, наконец, как вычислить силу воздействия потока на тело. Мы уже
имели в § 23 общую формулу для рассматриваемого случая
W~fS0056 ~РгЧ Sin 6)dS’ (25.38)
s
причём на поверхности сферы
dvb
Prr = ~P> Ргв — Iх '
Проще всего вычислить значение dv^/dr, если воспользоваться выражениями
(5.7) для проекций вихря в сферических координатах г, 0 и X:
о 1 Г d (sin 9г/х)_ dv01
г sin 8 L 09 д\ J ’
о _ 1 Г dvT д(г sin 6г,х) 1
9— г sine L dl дг J’
0 _ 1 f 0(rn8) dvr ) _ dvf, ! 1 dvr г
х г [ дг 00 J 0г ' г 9 г 00 ’
в нашем случае 2Г = 28 = 0; что же касается значений 2Х, то на
поверхности сферы v6 ==0, vr — 0, а следовательно, и dvjdft = 0. Итак, на
поверхности сферы
С другой стороны, мы имеем для составляющих вихря выражения:
2* = 0, 2v==-ft, 2 -&?
У~ dz’ г ду ’
следовательно, по формулам (23.20) перехода от декартовых координат к
сферическим
2Х = — 2у sin X -|- 2г cos X = ~ cos X -f- sin X.
Помня, что р = р0 — pUdy/dx, находим для подынтегральной функции в
формуле (25.38) выражение
р„ cos 0 — рт9 sin 6 =
= —(/>о —— p.-^-cosXsin0 —p.-^-sinXsin0 =
’L^cusu~ W 2 k дг
? — pQ cos 9 -j-pi/[4^-cos 6-----^--^-cosXsin 8 —Д- 4^- sin X sin (
528
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. II
конечно, это равенство справедливо только на поверхности сферы. Но ведь
на поверхности сферы vx =*= vy = vz = 0; поэтому по формулам (25.13)
Ъ=_2кЪ
ду ду dz dz
Замечая, наконец, что по тем же формулам преобразования (23.20)
cos 0 -j- -|2- cos X sin 0 —|— sin X sin 6 = ^ ,
дх 1 ду 1 дг дг ’
приходим к следующей простой формуле:
W —,тг С С д1
p[JffwdS' (25.39)
ибо интеграл от /?0 cos б, очевидно, равен нулю. Но для ср мы имели общее
выражение (25.16). Все члены этого выражения, кроме первого, при
интегрировании дср/дг по всей поверхности сферы дадут нуль; первый же
член даёт, очевидно, значение
Итак, мы получаем следующую формулу:
W = — 4upLM0. (25.40)
Воспользовавшись теперь выражением (25.27), найдём:
W = бтсрУа (l + . (25.41)
Эта последняя формула, данная Осееном, представляет уточнение формулы
Стокса.
Аналогичные предыдущим вычисления были произведены и для более сложных
случаев, как, например, для случая движения сферы в полупространстве,
ограниченном плоской стенкой, или для случая движения сферы по оси
цилиндра. Полученные для этих случаев формулы сопротивления, обобщающие
формулу Стокса, могли быть проверены на опыте. Не останавливаясь на
цифровых данных, мы отметим только, что получилось удовлетворительное
совпадение результатов опыта и теории для малых чисел Рейнольдса, не
превышающих единицы.
§ 26. Движение цилиндра. Решение задачи об обтекании цилиндра потоком
вязкой жидкости в предположении, что за исходные урав-
ДВИЖЕНИЕ ЦИЛИНДРА
529
нения можно взять
гг dvx 1 др . .
~длГ 7?^v х'
dvv 1 др
иТГ = —71Г+''А">" а».
дх г ду
(26.1)
протекает совершенно аналогично решению задачи об обтекании сферы, так
что при изложении этого решения можно быть очень кратким. Мы имеем опять
формулы:
V — у. v 4-JLIL, (26 2)
дх ' 2k дх У-> у ду ' 2k ду
причём ср удовлетворяет уравнению Лапласа
(32ср . д2<?
-------------
а у— уравнению
Л-с/ оь
дх
(2°>
Ax-2k-§r = 0. (26.4)
Тогда все уравнения (26.1) будут удовлетворены, если взять
P=P0-PU^L. (26.5)
W /ПС- 04 л. 1 д\пг In /-
Уравнению (26.3) удовлетворяет функция In г, а также —-g— ^ 2 -
и т. д. Поэтому мы принимаем
л , , , <?1п/- . . <Э21пг , тс с,
ср—A0\nr-{-А1— Ь 2 дх2 !“••• (26.6)
В уравнении (26.4) делаем подстановку
х =
тогда получаем для определения ф уравнение
имеющее в полярных координатах (г, 0) вид:
|t + T^- + ^^-l>4 = 0. (26.7,
Отыскиваем то решение этого уравнения, которое зависит только
от г и, следовательно, удовлетворяет обыкновенному дифференциальному
уравнению
+ = (26-8)
34 Теоретическая гидромеханика, ч. II
530
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ жидкости
[ГЛ. и
Решениями этого последнего уравнения являются бесселевы функции с чисто
мнимым аргументом J):
/0(Аг) = У0(/Аг) и K0(kr) = ^-Ha0)(ikr).
Однако /0(^г) безгранично возрастает вместе с г, в то время как K0(kr)
стремится к нулю при г—>со ; поэтому единственно приемлемым для нас
решением уравнения (26.8) является K0(kr).
Функции
дК0 (kr) д°Ко (kr) дх ’ дх2 ’ • • •
также будут решениями уравнения (26.7). Мы можем поэтому принять: х==_и +
е**{ С,К, (kr) + Сх + С2 -д-К^г) +•••}• (26.9)
Так как
д\пг х cos 0 d2lnr cos 20 (26 10)
дх г2 г ' дх2 г2
то для <р находим следующее разложение:
я , I я cos 0 . cos 20 . ...
у = А0Ыг -\-Л1 — ----------А2—2-----J- • ? - (26.11)
С другой стороны, мы имеем при малых kr разложения:
Предыдущая << 1 .. 118 119 120 121 122 123 < 124 > 125 126 127 128 129 130 .. 183 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed