Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кочин Н.Е. -> "Теоретическая гидродинамика. Часть 2" -> 133

Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.

Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидродинамика. Часть 2 — Физматлит, 1963. — 728 c.
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskayagidrodinamika1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 127 128 129 130 131 132 < 133 > 134 135 136 137 138 139 .. 183 >> Следующая

Итак, мы приходим к следующей системе для определения vx
ВЫВОД МИЗЕСА. УРАВНЕНИЕ МИЗЕСА
553
гае p(x,t) берётся из потенциального потока, обтекающего контур С; кроме
того, должны выполняться пограничные условия
и, если речь идёт о неустановившемся движении,—также ещё и начальные
условия.
Вернёмся теперь к первоначальным размерным координатам (29.1), т е.
заменим х на х/1, у на уУ R/l, t на Vtjl, vx на vx/V, v на vy Vr/v, p на
pjpV2 и R на IVpi.
Тогда вместо системы (29.7) мы получим систему уравнений:
вполне тождественную с уравнениями Прандтля. Напомним ещё раз, что в этой
системе у означает расстояние какой-либо точки пограничного слоя от
контура С, измеряемое по нормали к С, а х есть расстояние от основания
этой нормали до начальной точки контура С, измеряемое вдоль этой кривой.
Приведённый в этом параграфе вывод показывает вполне чётко, что уравнения
Прандтля являются предельной формой уравнений Навье — Стокса при R -> со.
Необходимо, однако, отметить следующее обстоятельство. При очень больших
числах Рейнольдса движение вязкой жидкости имеет обычно турбулентный
характер. С этой точки зрения может показаться, что предельный переход R—
>оо не может иметь физического смысла. На самом деле это не так, а
именно: пусть число Рейнольдса R/;, характеризующее переход ламинарной
формы течения в турбулентную, очень велико, тогда для больших чисел
Рейнольдса R, не превосходящих RA, мы с очень большим приближением можем
считать верными уравнения Прандтля, так как эти уравнения отличаются от
точных уравнений членами порядка 1/1/R, малыми при больших R.
Для чисел же Рейнольдса R, превосходящих Rft, пограничный слой становится
турбулентным, и к нему уже нельзя применять уравнения (29.9); теория
турбулентного пограничного слоя будет затронута в главе о турбулентности.
Для случая установившегося движения Мизес свёл систему уравнений (29.9) к
одному нелинейному уравнению в частных производных второго порядка типа
уравнения теплопроводности. В основе вывода уравнения Мизеса лежит
введение новых независимых переменных и новой функции.
vx = vy — 0 при vx=U(x, t) »
(29.8)
1 9 I „ д1'х = 1 др | ..
dt ' х дх ' У ду р йх ' ду2
(29.9)
554
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
;гл. н
Последнее из уравнений (29.9) показывает, что можно принять
<29ло>
где ф(лс, у) есть функция тока, причём можно считать, что на контуре С ф
обращается в нуль. Возьмём теперь за новые независимые переменные х и ф и
преобразуем уравнение
v ^ + v I*!*. (29 11)
х дх ' У ду р dx ' ду2 ' ' '
к этим новым независимым переменным. Функции vx и vy, выраженные в новых
переменных х и ф, обозначим для ясности через vx и v , так что
vx(x, y) = vx(x, ф); vy(x, y) = vy(x, ф).
Теперь ясно, что, рассматривая vx и vy как сложные функции от х и у, мы
будем иметь:
dvx ___ dvx dvx дф ____ dvx dvx
дх дх дф dx dx У дф
Л, a* :V ж
ду ’ дф ду х дф ’ д2ии д /— dv
vr -гг —v
ду2 х дф \ * дф / -г дф2 \ 2
Подставляя эти значения в уравнение (29.11), получим: _ dvx 1 dp — d2 /
v2x
Vx dx p dx +дф2 \ 2
По условию, нам должна быть известна функция р(х). Эта функция связана с
U (х) интегралом Бернулли:
р + = const., (29.12)
имеющим место в потенциальном течении вне пограничного слоя. Мы имеем
таким образом уравнение
dv2 dU2 — d2v2
= (29ЛЗ)
Поэтому, если мы введём новую неизвестную функцию
z(x, ф)=U2—vl, (29.14)
так что
vx— у и2 — г,
§ М]
ВЫВОД МИЗЕСА. УРАВНЕНИЕ МИЗЕСА
555
-го уравнение примет очень простой вид:
дг
- д2г 2 дф2 •
(29.15)
Это и есть уравнение Мизеса. Найдём ещё, каким пограничным условиям
должно удовлетворять решение этого уравнения. На контуре, т. е. при ф =
0, составляющая скорости vx обращается в нуль, следовательно, вследствие
(29.14) имеем
На внешней границе пограничного слоя, т. е. в наших новых независимых
переменных при ф = со, составляющая г;,, должна переходить в U (лг);
поэтому получаем второе пограничное условие:
2-> 0 при ф—>оо.
Наконец, если мы знаем распределение составляющей vx(x, у) при х = 0, т.
е. знаем функцию ггДО, у), то нетрудно будет вычислить и значение функции
г(0, ф). В самом деле, первое из уравнений
(29.10) определяет ф через у равенством
решив это уравнение, мы найдём зависимость у от ф, после чего по формуле
(29.14) получим:
Таким образом решение уравнения (29.15) должно удовлетворять таким трём
пограничным условиям:
Найдя z(x, ф), мы определим vx(x, ф) из уравнения (29.14)
после чего из первого уравнения (29.10) можем определить у(х, ф):
Решая это последнее уравнение относительно ф, мы получим
z = U2(x) при ф —0.
V
Ф (0. У) = f vx (0, У) dy;
о
2(0, Ф) = u2(0) — v\ (0, у).
z = U2(x) при ф == 0,
2 = 0 » ф = 0О,
z — 2(0, ф) » л: = 0.
(29.16)
vx(x, ф) = УU2 — z,
(29.17)
(29.18)
Функцию тока ф(х, у), т. е. окончательно решим задачу.
556
ДВИЖЕНИЕ вязкой ЖИДКОСТИ
[ГЛ. II
§ 30. Интегральное соотношение Кармана и его обобщения.
При детальном изучении какого-либо движения жидкости приходится всегда
исходить из дифференциальных уравнений движения жидкости. Но если мы
Предыдущая << 1 .. 127 128 129 130 131 132 < 133 > 134 135 136 137 138 139 .. 183 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed