Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
хотим рассматривать движение только в общих чертах, то тут часто большую
помощь оказывают общие теоремы гидромеханики, а именно закон количеств
движения, закон моментов количеств движения и закон энергии.
Настоящий параграф будет посвящён применению закона количеств движения к
теории пограничного слоя.
Для ясности мы будем исходить сначала из основных уравнений теории
пограничного слоя (29.9). При этом мы введём в рассмотрение толщину
пограничного слоя о. Мы знаем уже, что понятие толщины пограничного слоя
есть несколько неопределённая величина, так как в пограничном слое
скорость vx изменяется от нуля на контуре С до скорости U, имеющей место
в потенциальном потоке, асимптотически приближаясь к этой последней
величине (рис. 175). Можно было бы, например, определять о как то
расстояние от контура С, на котором величина vx отличается от U на 1 %.
Для нас будет несущественно то или иное определение величины о, лишь бы
при этом соблюдались следующие два условия: во-первых, скорость vx при у
= 8 должна мало отличаться от скорости U (т. е. разность vx — U
должна быть мала в сравнении
с характерной скоростью V), и, во-вторых, значение производной
dvx/dy должно быть мало (опять-таки в сравнении с V/1). Наиболее точным с
математической стороны представляется введение так называемой толщины
вытеснения 8*. определяемой условием:
ОО
J (U — vx) dy — o*U. (30.1)
о
Если прямая АВ на рис. 175 пересекает кривую распределения
скоростей OKL так, что площадь ОАК равна площади KBL, то ясно, что 8*=ОА.
Ясно, что в общем случае 8* будет функцией oxxnt.
Проинтегрируем теперь обе части первого из уравнений (29.9) по у в
пределах от 0 до 8 и рассмотрим по отдельности все получающиеся при этом
члены. Мы имеем прежде всего по правилу дифференцирования интегралов с
переменными пределами:
б О
75Г / vxdy = f ^fdy + vx{x, (30.2)
О о
ИНТЕГРАЛЬНОЕ СООТНОШЕНИЕ КАРМАНА И ЕГО ОБОБЩЕНИЯ 557
следовательно,
6 5
,/ 1ЯГаУ = Ж Ivxdy — vxix> s- o-gp (30.3)
о о
Мы имеем далее:
о
Г dvx , iy=o Г &vy ,
j Ь ~w dy = ^ ^=0 - J vx -jy- dy = o' 0
= vy(x, 3, t)vx(x, 8, t) — f vx^-dy,
0
ибо vx — v —0 при у —0. Но из второго уравнения (29.9) имеем: dvy dvx
г dvx
-W = дГ' Vх-8- ^ = ~ЫаУ’
0
заметим, что
_d_ дх
о
поэтому
f Vxdy = f ^dy + vx(x, 3, t)?,
) 0
8
vy{x, 8, t) = — ~ f vxdy + vx{x, 8, t)~ (30.4)
и, значит,
5 Vy % dy=-vx (x. 8, t) ± J vx dy+v2x (x, 8, t) ^ + j vx^dy.
о о 0
Вычислим интеграл
Г дух 1 С dvl 1др 1 л 85
j ^~д7аУ=2 J ~дТ аУ — ~2 Их J v*dy~ a^(x. 8- O-gp
0 0 0
Собирая все полученные результаты, придём к выводу, что
Advx . dvx . dvx\ ,
-W + Vx1)f + vy -jf-jdy^
0 J '
6 о S
/ Mr dy -f ~f v2xdy-vx{x, 8, t)-~ f vxdy-vx(x, 8, /)-J-
d_
Ъ
0
558
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. И
Вычислим теперь интеграл от правой части уравнения (29.9). Здесь мы
имеем;
В итоге, первое уравнение системы (29.9) даёт нам следующее равенство:
Это равенство справедливо при любом значении 8; примем теперь, что 8 есть
как раз толщина пограничного слоя, тогда, как было выше указано, мы можем
принять vx(x, 8, t) равным U (х, t), a (dvxldy) =s можем заменить нулём.
В результате получается интегральное соотношение Кармана
которое в частном случае установившегося движения имеет вид:
Подчеркнём ещё раз приближённый характер этих соотношений, вывод которых
основывался на отбрасывании некоторых малых величин.
о
так как р не зависит от у. Далее,
поэтому
А
1 др
р дх
I d2vx\ ,
4-v-^r)di> = -
1 др
р дх
о
О
6
0 0 о
о
о
о
d§F fvxdy + ^ fvldy-U(x, t)?Ffvxdy — U(x,
0 0 о
(30.6)
J 30] ИНТЕГРАЛЬНОЕ СООТНОШЕНИЕ КАРМАНА И ЕГО ОБОБЩЕНИЯ
559
Сам Карман получил уравнение (30.6) путём применения закона количеств
движения1). Выведем этим методом уравнение (30.6). Пусть кривая КК,
уравнение которой есть
y = b(x,t), (30.8)
ограничивает область пограничного слоя от области внешнего потенциального
течения (рис. 176). Рассмотрим объём жидкости, вырезаемый из пограничного
слоя ординатами АВ и АХВХ (как всегда, толщину жидкого слоя в
направлении, перпендикулярном плоскости чертежа, принимаем равной
единице). Пусть ААХ = dx. Количество движения вырезанного слоя (в
направлении оси Ох), очевидно, равно
К
= / ?vx dy
dx.
(30.9)
У
ЙО-
8
A dx ф. ^
Рис. 176.
По закону количества движения, изменение количества движения какой-либо
системы точек равняется импульсу всех внешних сил, действовавших на точки
системы. Изменение за время dt количества
движения системы частиц, заполнявших в начале этого промежутка времени
объём АВВХАХ, складывается из двух частей. Прежде всего, в случае
нестационарного течения, происходит изменение скорости в каждой точке
пространства; в силу этого обстоятельства мы получаем за время dt
приращение количества движения рассматриваемого объёма жидкости на
величину
dxK = dx j* р dt dy.
Но, кроме того, нужно иметь в виду, что за время dt некоторые частицы,
составляющие наш объём в начале этого промежутка времени, уйдут из
