Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
W = 1,1556 ]/Wt/3, с
w yR
Наконец для о* имеем формулу:
з
3* =s/(l-r])rfi} = -*-8 = 1,732 У
о
почти совпадающую (конечно, случайно) с формулой (32.28).
Возьмем теперь распределение скоростей по параболе третьей степени
/ (tj) = A -f- Brj -f- C-q2 -f- Dtf, причём выберем следующие граничные
условия:
^=0. ^i=Q ПР» У = 0; vx = U, ^ = 0 при у = 8, (32.30)
последнее из которых выражает, что на внешней границе пограничного слоя
не только vx, но н dvjdx плавно переходят в соот-
(32.27)
(32.28)
(32.29)
ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОИ ВДОЛЬ ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНКИ
577
ветствующие значения внешнего потенциального течения. Второе из взятых
нами пограничных условий сразу вытекает из первого уравнения (32.1), если
заметить, что при у = 0 как vx, так и vy должны обращаться в нуль.
Простое вычисление показывает, что надо взять
/ (^) -?= 4 71
.1уз 2 Т‘
и далее 1
7 = f /(1 —/)
dr —
,39 280 ’
Г (0) =
/|
(32.31)
/(т;)] dy -
8 ’
следовательно,
280vx
131Г
, ЛГ 280
'W ~/~
117
70К
4,641 j/-
1,293
чх
и
8
1,74
Vx ’ /??
(32.32)
Примем ещё, чтобы показать пример применения уравнения (30.16), следующий
закон распределения скорости:
тогда
vx=U th|, q = U-vx=u( 1-th-f),
?со ^ О
U J q dy — J q2 dy = U4 J (1 — th yj) th т]dr\.
(32.33)
Введём новую переменную
и заметим, что cfi =
поэтому
ell2
1 = th yj
J (1 ~ th 7j)tll 7jd7] = У (1 —О'-уДДг
/ = К - In (1 +‘’)H=o = 1 — In 2.
37 Теоретическая гидромеханика, ч. {1
578
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОП ЖИДКОСТИ
[ГЛ. и
Далее
dvx U 1 о
поэтому уравнение (30.16) даёт нам
,70/1 . г, r/S и.1/
откуда
« do о-
й/лг р/7 (1 — 1 п 2) и, следовательно, после интегрирования
8 = /-щЙлу»2'553/?- <32-34>
Вычисляем теперь сопротивление
_ V-U _ л Г Р-р/73 (1 — In 2)
Т° S I7 2х
и следовательно,
W= 2?- К2 (1 — 1п2)|тР//з/ ~ 1,567/>Уир//У3, (32.35)
Т R
Наконец,
СО 1
/ (1-th ri)d7l=bf (1™ С)Т
о и
1 _______________________________
= 8 f = = !’77 (32.36)
о
Мы видим, что величина о* во всех случаях получается очень близкой к той,
которую даёт точное решение; ошибка в определении cw доходит до 20%, хотя
в частном случае, когда за /(7)) выбирается полином третьей степени, эта
ошибка не превышает 4%.
Еще раз подчеркнём, что при применении метода интегральных соотношений мы
имеем очень большой произвол в выборе распределения скорости. Кроме того,
остаётся также произвол в выборе интегрального соотношения, которым мы
можем воспользоваться.
§ 33. Пограничный слой в диффузоре. Ламинарная струя. В качестве второго
примера применения теории пограничного слоя в несжимаемой жидкости
рассмотрим течение в плоском диффузоре1).
‘) Р о h 1 h a u s е п К., Zur naherungwelsen Integration der
Differentiaiglei-chung der laminaren Grenzshicht, Zeltschr. fur angew.
Math, und Mech., 1 (1921), стр. 252—268.
ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В ДИФФУЗОРЕ. ЛАМИНАРНАЯ СТРУЯ 579
Пусть мы имеем плоское течение жидкости между двумя плоскими стенками ОАВ
и OCD, наклонёнными друг к другу под углом а (рис. 160, стр. 461). Мы
будем стараться придерживаться тех же обозначений, что ив § 17, в котором
вопрос о течении в диффузоре был рассмотрен вполне строго. В соответствии
с этим обозначим через Q обильность источника, считаемую положительной,
если мы имеем дело с расходящимся течением в диффузоре, и отрицательной —
для случая сходящегося течения.
Мы будем рассматривать пограничный слой, образующийся вдоль, стороны ОАВ
угла, и будем отсчитывать координату х вдоль этой стороны от точки О.
Тогда для скорости течения идеальной жидкости мы будем иметь выражение
(33.1)
Мы можем теперь из уравнения Бернулли определить градиент давления
1 dp
р dx
? -UU'
а*х3
Введя функцию тока ф (аг, у), из основного уравнения теории погра личного
слоя, получим:
<3ф 32ф Зф 32ф Q2 , б3ф
у ^
ду дх ду дх ду1
а2х3
ду3
Положим
Ф = С(5),
(33.2)
(33.3)
простые вычисления показывают тогда, что
Зф
ду
1
С'©.
-А-с'-
X2
С",
дгФ __ 1 г„
ду2 х2
дх ду
д3ф гш
ду3 х3
Поэтому уравнение (33.2) сильно упрощается: - (С')* =
Введём для простоты обозначение:
тогда будем иметь уравнение
^ // 1 9
— и =1 — и2
(33.4)
(33.5)
(33.6)
о7*
580
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
1ГЛ. II
и граничные условия
г/(0)= 0, и (со) = 1, (33.7)
вытекающие из (33.4), вследствие того, что при у = 0 (т. е. ? = 0) vx
должно обращаться в нуль, а при у = со (т. е. ? = оо) vx должно
обращаться в U = Qjotx.
Умножая обе части уравнения (33.6) на и' и интегрируя, получим:
/2 | /по г>\
~2~q и z:=i О и---------------------------, (33.8)
где С есть произвольная постоянная. При ?—>оэ величина к по усло-
вию (33.7) стремится к единице, но тогда из предыдущего уравнения ясно,
что и' тоже стремится к определённому пределу, и ясно, что
этим пределом может быть только нуль. Итак, C-f-1 —~ = 0, откуда
Но
—| + а |(м_1)2(й + 2),
и значит, уравнение (32.8) принимает вид:
-g-«/2=™|(«—1)2(« + 2). (33.9)
Так как правая часть всегда отрицательна в интервале 0<м<1, то Q
непременно должно быть отрицательно. Таким образом, пограничный слой
