Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кочин Н.Е. -> "Теоретическая гидродинамика. Часть 2" -> 140

Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.

Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидродинамика. Часть 2 — Физматлит, 1963. — 728 c.
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskayagidrodinamika1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 134 135 136 137 138 139 < 140 > 141 142 143 144 145 146 .. 183 >> Следующая

рассматриваемого вида может образоваться только для случая сходящегося
течения в диффузоре; для случая расходящегося течения такого правильного
пограничного слоя не получается. Эти результаты находятся в полном
согласии с тем, что мы нашли в § 16.
Для случая сходящегося течения мы можем продолжить вычисления дальше.
Введём, как в § 17, число Рейнольдса
Заметим теперь, что вследствие граничных условий (33.7) и должно
возрастать вместе с поэтому, разрешая уравнение (33.9) относи-
тельно и', найдем:
ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В ДИФФУЗОРЕ. ЛАМИНАРНАЯ СТРУЯ 581
Чтобы взять интеграл, совершим подстановку:
V2 + u = qV « = З?2 —2,
da = Qqdq\ 1—м = 3(1—q2).
тогда
и. q
f dJL=== Г.
J Cl — и) l/*2 4- и J
2 dq
{\-u)V2 + U /_УЗ(1-q*)’
Vi
Положим далее
q = thv, dq = -^\ = Л»
и заметим, что если q — то f = In (V3+1/^2) = 1,146. Ра-
венство (33.10) даёт теперь
?|- = *-1п(Уз + У2).
Возвращаясь к переменной и, найдём:
и = 3th2 ?ln (Уз-f- У 2) -j- % ~]~2,
и наконец по формулам (39.4), (39.5) и (39.3)
<л = У{зда[|„(Кз + ТД+У/|-]-ф (зз.Н)
Преобразуем несколько эту формулу; мы имеем: th2z = 1 ---------------—
= 1 4
У
сЪгг (ez -f- е z)‘
поэтому предыдущая формула может быть записана и так:
-^fi-T------------------------------------------- „1
ХЗ ' Г ч, « / О чг m A D Т2 *
У
_ |Уу _ _ l/J. ]2 j
(Уз + У2) Г ^ + (Уз — У2 ) е xV 2а J J
(33.12)
Эта формула является совершенно тождественной с формулой
(17.44) § 17; в самом деле, для пограничного слоя у/х есть малая
величина, которая с точностью до бесконечно малых высшего порядка
определяет угол, составляемый ОАВ с радиусом, проведённым из точки О в
рассматриваемую точку пограничного слоя. Но в § 17 этот угол выражался
как раз величиной а/2 — б. Заменяя в формуле
(17.44) а/2 — б на у/х, мы опять получаем формулу (33.12). Применим
теперь к рассматриваемой задаче способ Мизеса, изложенный в § 29. В этом
способе за независимые переменные берутся А' и 6, а за функцию берётся
z = U2 — г»2. (33.13)
582 ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. II
Уравнение (29.15) для определения функции z в нашем случае принимает вид:
дг О2 д2г .
~dx"~'*V 4W~~z~3y' (33.14j
причём, чтобы vx получилось положительным, мы принимаем ОАВ за
отрицательную ось Ох, так что в рассматриваемой нами области х всюду
отрицательно. Граничные условия будут иметь вид:
Z==lSr "Ри ^°>
z — 0 » ф = оо.
Будем искать решение уравнения (33.14), имеющее вид:
2= ^г^(ф); (33.15)
тогда функция w должна удовлетворять уравнению (мы опять вводим число
Рейнольдса R = — Q/v):
. = ^-w" (33.16)
У l—w а
и граничным условиям
та» (0) = 1; гг;(оо) = 0. (33.17)
Умножая уравнение (33.16) на w', интегрируя и принимая во внимание
граничные условия, получим:
W
v2R ,2 Г 2® dw
w — -------
2а J У X—W
о '
Полагая
У1 —w = q,
после простых вычислений получим:
v2R 2 А
-ъгчч
1
= ~ f (l-q2)dq = l-q + ^- = jO-q)42-yq).
При возрастании ф от 0 до оо изменение q происходит от нуля до единицы,
поэтому из предыдущего уравнения находим:
Ф г/~ 2я~_ С qdg v У 3R J (1_9)/2+7 ‘
Сделаем теперь, как выше, подстановку
2 -j- q = 3 th2 v,
ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В ДИФФУЗОРЕ. ЛАМИНАРНАЯ СТРУЯ 583
тогда простые вычисления покажут, что
ii/"Ё2. = JL f (3 th2 v — 2)dv ?
V У 3R УЗ . '1
пДНз+Иг)
JL / (l - ^)^ = ^{«-3thV--ln(Vr3+ ]/2)+ /6}.
In (VT + 1 2)
По формуле (33.13) мы определим vx:
V, - VT^U = A yr^T7= A * = i ,3 ,„4 - 2). (33.18,
Чтобы выяснить геометрическое значение введённого нами параметра V,
найдём у из уравнения (29.18):
>у (3th2o— 2)dv
О- (3 th2 v — 2) и 1п(1 з+Гг) ах
-^-xj/~ Ц- [v — In (У3 + У 2)].
Итак, в нашем движении ~ 2R-
где
Ф = 'У ~ {®-3thtf-ln(V3 + K2)+lAj}, (33.19)
?и = 1 п (V 3 2) — ~ |/~ А. (33.20)
Для определения vx имеем формулу (33.18), дающую:
| 3 th2 [in (1/3 -f V2) — ^ |/"-|р J — 2 ] (33.21)
Q
VJC~
л ax
и совершенно тождественную с (33.11), если учесть перемену обозначений (х
заменено у нас на —х, a vx на —vx).
В задаче о диффузоре для скорости течения на внешней границе пограничного
слоя мы имели выражение
U ?= —.
X
Более общий случай, когда
U=kxm, (33.22)
58-1
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. II
допускает совершенно аналогичную трактовку вопроса1). А именно, вместо
(33.2) мы будем иметь:
^ д26________5ф_ д2ф _ .2y2m-l I v ^Зф _
ду дх ду дх ду2 ^ ду3
Полагая
т~ 1 т + 1
i = yx~, ф=*“С(?). (33.23)
мы получим для определения С(?) обыкновенное дифференциальное уравнение
тг/~ _ Ш+1 !Х" — vCw — я»*2 = 0 (33.24)
при граничных условиях
Ц(0) = С'(0) = 0; С' (oo)~k.
Не останавливаясь на дальнейшем рассмотрении получающегося течения,
заметим только, что два частных случая, в которых уравнение (33.24)
сильно упрощается, а именно, случаи т — 0 (плоская пластинка) и т.
— —1 (диффузор), нами уже изучены.
Рассмотрим теперь задачу о плоском установившемся движении
вязкой жидкости в виде струи, исходящей из узкого отверстия2). Пусть в
покоящейся жидкости, расположенной справа от оси Оу, распространяется
струя жидкости, исходящая из узкого отверстия, находящегося в начале
Предыдущая << 1 .. 134 135 136 137 138 139 < 140 > 141 142 143 144 145 146 .. 183 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed