Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
СР?\ж + г Ж + vy w) ~ V~дГ + v* + ®У ~55г)=
д I дТ\ д ( дТ\ ( ( dvx dvv \2
Из двух членов, содержащих коэффициент теплопроводности, мы должны в
пограничном слое сохранить один:
?(*?)•
Очевидно, далее, что из всех членов, содержащих коэффициенты вязкости,
останется лишь
ММ-
Принимая, наконец, во внимание (31.6), мы получим уравнение притока тепла
в теории пограничного слоя в виде:
( дТ . дТ . дТ\ а I др . др \ срр \W ^~Vxl)x~^vy~dy)~ \~дГ v* ~д7/ ~
Л
ду
Уравнению этому мы можем дать ещё другую форму. Вставим др/дх из (31.5).
Производя совершенно элементарные преобразования, по*
§ до] ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ВДОЛЬ ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНКИ 569
лучим окончательно:
к (Ж КГ + т) +МЕс-Т + 4 ) + "yw(Ec"T + т)} -
-t=?i-(*W)+?h-%L)' (31J0)
где Е ?= —j--------механический эквивалент тепла.
1_
А
В заключение этого параграфа получим ещё интегральное соотношение Кармана
для сжимаемой жидкости. Для этого запишем сперва (31.5), привлекая
уравнение неразрывности в виде
d?vx d?vx dpvxvy др д
dt дх ду дх ду
и проинтегрируем по у от 0 до 8:
/Т dy + /т dy + ~ %8 - («* w L •(31 •11}
о и
Но из уравнения неразрывности следует, что
/1 "у+ / ЧГ Ъ + <Р->. = »• <*'•!»
О О
Обозначая, как и прежде,
вставляя (рт»у) из (31.12) в (31.11), вынося дифференцирование из-под
знаков интегралов и производя сокращения, получим:
? / ^dy+fpv'*dy ~ u j ?vxdy—и тп I dy
0
dt
0 0 0 dp j dvx
. (31.13)
дх V1 dy J y=o 4
Это и есть интегральное соотношение Кармана для сжимаемой жидкости. При о
= const., р = const, оно автоматически перейдет в (30.13).
§ 32. Пограничный слой в несжимаемой жидкости вдоль плоской пластинки.
Переходим теперь к исследованию конкретных случаев движений в пограничном
слое.
Пусть плоская пластинка, бесконечно длинная в направлении,
перпендикулярном к плоскости чертежа (рис. 173), движется с постоянной
570
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. II
скоростью U в направлении отрицательной оси Ох. Нам удобнее будет
обратить движение и рассматривать обтекание пластинки, расположенной
вдоль оси Ох, равномерным потоком, имеющим постоянную скорость U.
Очевидно, в основном потоке мы имеем отсутствие градиента давления
#- = 0.
ах
и поэтому, предполагая, что мы имеем дело с несжимаемой жидкостью и со
стационарным ламинарным пограничным слоем, можем написать основные
уравнения в виде:
dvx dvx d2vx dvx dv,,
Vx~d^^Vy~dy'~'i~dy2~'’ ~dx~ + ~dy~ = t32-1)
Вводя функцию тока ф (х, у), будем иметь:
d<\i dfy
ду> = <32'2)
и первое уравнение (32.1) даёт тогда
оф д2ф <?ф д2ф <33ф
ду дх ду дх ду2 ду3
(32.3)
Но ясно теперь, что ф, кроме х и у, может зависеть только от
U и V.
Следуя Блазиусу'), мы введём вместо ф безразмерную величину (, по формуле
ф = У^ГПс С, (32.4)
а также безразмерную величину
<32-5>
Предположим теперь, что С зависит только от Ь
С = /(?)?
Простые вычисления показывают, что если мы условимся штрихами обозначать
производные по i, то
vr = 4$r = V7(7x О |/"
X '
ду
дх~ 2
й- = —т/4r-+v'"xe4y/ 4 =
(/4 (К'-С).
(32.6)
') Blasius Н., Orenzschlchten in Fliissigkeiten mit kleiner Reibnng,
Zeit. fur Math, und Phys., 56 (1908), стр. 1—37.
ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ВДОЛЬ ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНКИ
571
Подставляя эти значения в уравнение (32.3), после сравнительно
простых вычислений найдём обыкновенное дифференциальное уравнение для
определения С:
2:'"-КС" = 0. (32.7)
Граничные условия vx = Vy = 0 при у —0 дают нам вследствие соотношений
(32.6), что
С = О, С' = 0 при ? = 0, (32.8)
граничное же условие vx=U при у = оо показывает, что
С'= 1 при \ — оо. (32.9)
Итак, надо интегрировать уравнение (32.7) третьего порядка при
трёх граничных условиях (32.8) и (32.9). Решение этой задачи мы уже
привели выше (см. § 20). Этим решением сейчас и воспользуемся.
Напомним теперь ещё раз наши обозначения. По первому из уравнений (32.6):
С/(5) = -^-, (32.10)
по уравнению же (32.5)
S = y|/" (32.11)
Заметим, что в рассматриваемой задаче мы не имеем в нашем распоряжении
характерной длины; рассматривая пограничный слой в месте пластины,
соответствующем координате х, мы можем принять число Рейнольдса равным
уП
R = —, (32.12)
и тогда
Таким образом % пропорционально координате у.
Приведём теперь таблицу (см. таблицу IV), составленную Пракд-тлем на
основе вычислений Тёпфера, и дадим (рис. 177), распределение скорости в
пограничном слое. Так как в основе теории пограничного слоя лежит
предположение о том, что число Рейнольдса R очень велико, то из
формулы (32.12) явствует, что мы не можем
применять полученные результаты к самому краю пластинки, где х
имеет малые значения.
Прежде чем идти дальше, сопоставим решение, полученное здесь, с решением
в точной постановке (§ 20). В качестве независимой
572
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[гл. л
Таблица IV
? (?) ? С' (?) ? С' (г) ? С' (?) ? с' (?)
0 0,0000 0,2 0,0664 0,4 0,1328 0,6 0,1990 0,8 0,2647 1,0 0,3298 1.2
0,3938 1,4 0,4563 1,6 0,5168 1,8 0,5747 2,0 0,6298 2.2 0,6813
2.4 0,7290 2,6 0,7725 2,8 0,8115 3,0 0,8461 3,2 0,8761 3.4
