Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кочин Н.Е. -> "Теоретическая гидродинамика. Часть 2" -> 132

Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.

Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидродинамика. Часть 2 — Физматлит, 1963. — 728 c.
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskayagidrodinamika1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 126 127 128 129 130 131 < 132 > 133 134 135 136 137 138 .. 183 >> Следующая

новые безразмерные величины формулами:
После подстановки этих значений в формулы (5.1) и сокращения обеих частей
двух первых уравнений этой системы на V2jl, а по-
') Mises R., Bemerkungen zur Hydrodynamik, Zeitschr. fur angew-Math, und
Mech., 7 (1927), стр. 425—431 и дискуссия по поводу этой статьи между
Прандтлем и Мпзесо.ч в том же журнале, 8 (1928), стр. 249—252.
vx — U при у—>со.
(28.6)
Х—lx, у — ly, t — vx — Vvx' vy — V vy, p = pV2p, v = -^.
(29.1)
550
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. II
следнего уравнения — на Vjl, легко получим уравнения:
dvr
dt
dvy
dt
v
dvx x dx dv,.
+ v
dvr
v
x dx
-v
у dy dv у
dvy
У dy dvv
dp_
dx
1 / d2vx
dy ' R
R \ dx2 1 td2v„
dx2
dx
dy
= 0,
d2v j.
dy2
d2vv
~d~y2
(29.2)
отбросив, для простоты, чёрточки над буквами.
Итак, уравнения гидромеханики, написанные в безразмерном виде, сохраняют
свой вид, только плотность р заменяется при этом на 1, а кинематический
коэффициент вязкости v — на 1/R, где R — число Рейнольдса.
Пусть теперь qx и q2 — криволинейные ортогональные координаты, а Нх и Н2
— соответствующие коэффициенты Ламэ. Напишем уравнения (29.2) в
криволинейных координатах qx и q2, для чего воспользуемся общими
формулами § 5. В результате мы получим систему из трёх уравнений, первым
из которых будет
dii,
dt
. dv ~ТТГ
+
dv.
Vl
Hi dqi dq2 ^ Я,Я2 'Л dq
I dH i
I V, -3—!- — Vn
dH2
Hq~i
1 dp
*!Hi\
1 d[7fJ
H
dv.
1 d*vi i 2 л„2 I
d2vx
im
И 2 2
нхн2
dv.
dqx dqx
+
2 dH, dv,
H\H‘2
dq2 dq2 H\H2 dq2 dqx
, 1_ d / 1 dH2 \ 1 d I 1 5Я, \ .
~T~'H, dq, \//,Я2 dqt Я1 ' Я^ a<?2 \Я,Я2 (ty2 j ^ '
Я, <)?, \я,я. 1 (? / 1
Я,
5Я2 dq дН\ Я2 5?2
Н\Н2 dqx dq2 1 5Я,
Я2 dq2{.H,H2 dqJ
1
dll,
2 I
®2]. (29^
а вторым и третьим —
dv2 . ti, du2 . t/2 du2
~W > Щ ~dq^ ' W2 ~dq^
.11 i i H2 dq2 R
V\ I dHl H,H2 Л d?2
1 52v2 . 1 d2 v2
*%)-
, ? e(t)
dv,
dqi
H 2 2
HXH2
Я,Я2
d?2 <ty2 ИXH2 dq2 dqx HXH2 dqx dq2
ВЫВОД МИЗЕСА. УРАВНЕНИЕ МИЗЕСА
551
+
Я,
dq, \Н,Н2 1 д ( 1
Я, dq, \Н,Н2 dv ‘2 dq
дН2 \ 1 д / 1
dq, / 2'Н2 dq2 \Н,Н2
5Я, \ ! _1_ д ( 1
) 1 Н2 dq2 \Н,М
dH,
dq,
dv2
dq*
dq2
dti2
dq2
Ь].
-V,
dH,
-v,
dH, 2 dq2
'• 0.
(29.3")
(29.3'")
i ' vij2 - dq, Uij2
Выберем теперь следующую систему криволинейных ортогональных координат
(рис. 174). Проведём в точках контура С нормали к С, и пусть нормаль
через произвольную точку М, лежащую вблизи контура С, пересекает этот
контур в точке N. Выбрав на контуре С определённую точку О за начало
отсчёта дуг, будем определять положение точки М координатами qx = s и
q2~n, где s и п суть взятые с надлежащими знаками длины дуги кривой ON и
отрезка нормали ЛЯП. Возьмём соседнюю с М точку М' и вычислим расстояние
do между точками М и М'. Бесконечно близкие нормали MN и M'N'
пересекаются в центре кривизны К кривой С, соответствующем точке N.
Обозначим радиус кривизны кривой С в точке N через r(s) и положим, что г
(s) есть непрерывная функция от s вместе со своей первой производной.
с точностью до бесконечно малых высшего порядка,
пред-
Так как, мы имеем:
то
do2 ---= ML2-^LM'2, LM' = dn, ML = [r (s)-f- я] d0, NN' ^ds^r {s) db. ML
= - (^— ds,
do2 = [ 1 + ds2 + dn2,
и следовательно,
^=1+7
n
w
H9 1.
(29.4)
Сделаем, наконец, последнее преобразование. Положим, чтобы не вводить
новые буквы
ql = s — х,
V, = vs = vx, Н,= 1+-
VRr (л)
q2 = n--
У
Уя ’
vy
' >R
, .
(29.5)
552
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОП ЖИДКОСТИ
[ГЛ. 11
Таким образом, теперь уже х означает расстояние между точками О и А/,
измеренное по кривой линии С (следует помнить, что за единицу расстояния
принята длина /), у же означает расстояние
точки М от контура С, увеличенное в ]/"R раз; точно так же vy
есть проекция скорости на нормаль, увеличенная в l^R раз.
Вставим теперь значения (29.5) в уравнения (29.3), обе части
среднего из которых мы поделим на Vr и найдём, какую предельную форму они
получат, если мы устремим R к бесконечности, считая при этом величины vx,
v , р и их первые и вторые производные по t, х и у конечными. Легко
видеть, что большинство членов уравнений (29.3) будет содержать
множителями некоторые
целые положительные степени 1/J/R- В пределе все эти члены обратятся в
нуль, и мы получим уравнения:
dvx
dt.
I dvx
+ Vx ~W-
dvr
' Vv -ДГ1 У dy
dvx
~dF
dp_
dx
d2vx dy^
0 =
S1L
dy ’
-- = 0.
dv
(29.6)
Мы будем считать, что вне пограничного слоя происходит обтекание контура
С потенциальным потоком. Но при R —> оо весь пограничный слой прижимается
к контуру С; это видно из того, что по формулам (29.5) всякому конечному
у соответствует значение п, сколь угодно малое при достаточно большом R.
Пусть в точках контура С для потенциального потока давление имеет
значение р(х, t), а скорость — значение U {х, t). Тогда мы можем считать,
что при у—>оо решение уравнений (29.6) должно удовлетворять граничным
условиям:
Пил р--—р(х, t), lim vx — U(x, t),
y->OG y->-0
по по среднему из уравнений (29.6) p не зависит от у; следовательно, во
всём пограничном слое р имеет значение р (х, t).
Предыдущая << 1 .. 126 127 128 129 130 131 < 132 > 133 134 135 136 137 138 .. 183 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed