Методика решения задач по физике - Кобушкин В.К.
Скачать (прямая ссылка):
играют). Отсюда вывод - заменить имеющуюся у нас систему
материальной точкой, расположенной
в центре масс системы. Тогда f = ,y-_^jr, где-расстояние от
точки подвеса до центра масс системы (так называемая приведен' ная
длина физического маятника, т. е. качающегося протяженного тела).
Но /' находим по формуле для центра масс системы, взяв за начало
отсчета точку подвеса (с учетом того, что из-за симметрии системы
относительно линии точка подвеса - ось ведра центр масс находится
на этой линии):
, М/" + М"/п
М + Мп '
где /в и /п - расстояния от точки подвеса до центра масс ведра и песка
соответственно: Мп - масса песка, равная р)/ = р5/г.
ti h
Так как /" = /-2 и L = t - у, то
М + Р Sh
О
Подставляя (*) в формулу для частоты, получим ответ.
Очевидно что при малых размерах ведра (т. е. при Н<^1) получим
/' = /, как и должно быть, ибо в этом случае ведро можно
рассматривать как материальную точку.
Читатель, возможно, захочет исследовать результат для различных
случаев, например, H = l, h - H, Л = у, Л = 0, М > pSh и т. д.
Видно, что в числитель (*) входит /г9, а в знаменатель h. Это
означает, что при изменении h числитель и знаменатель меняются
неодинаково. Поэтому если h меняется от Н до 0, то
дробь сперва растет от jI- до некоторой величины, а потом
начинает опять убывать до - 2
Физически это ясно: когда ведро полно песку (т. е. h = H),
центры масс ведра и песка совпадают и /' = /-2. Когда песок
высыпается, то его центр масс опускается и /' сперва растет.
Но когда песок высыплется (т. е. Л = 0), то качаться будет
,, , Н
лишь ведро и 1=1- 2.
№
Задача 7
По наклонной плоскости с углом наклона а идет с ускорением а
тележка, на которой подвешен маятник длиной I (рис. 16,а). Найти
положение равновесия маятника и период малых собственных
колебаний.
Рис. 16.
Решение
Как уже говорилось, все задачи такого типа сводятся к нахождению
коэффициента возвращающей силы k. Для нахождения его прежде
всего определяют положение равновесия маятника, то т. е. то
положение, около которого происходят качания. Поскольку наш
маятник находится на ускоренно движущейся тележке, то
"равновесным" положением будет такое, при котором маятник будет
неподвижен относительно тележки, т. е. будет иметь относительно
наклонной плоскости скорость и ускорение такие же, как у тележки.
Найдем это положение, определяемое, например, углом (3",
который составляет нить с осью оу (очевидно, при этом нить составит с
вертикалью угол
170
Из mg + Qo = та получим в проекциях на оси ох и оу
mg sin a -j- Qo sin p" =
tna, - mg cos a -j- Qo cos p0
= 0.
(В искомом состоянии "равновесия" ax = a и ^ = 0, ибо тележка, а
значит, и маятник не имеют ускорения в направлении,
перпендикулярном плоскости.)
Исключая отсюда Q0, получим
Это равенство позволяет найти при желании угол р0.
Теперь надо вспомнить, что коэффициент k определяет воз-
вращающую силу, возникающую при единичном смещении из по-
ложения равновесия. (В нашем случае это - "равновесие", ибо маятник
вместе с тележкой движется ускоренно).
Натяжение нити Q не дает возвращающей силы, ибо при любых
малых смещениях Q будет перпендикулярно им. Значит, надо найти
прирост соответствующей составляющей силы mg.
При этом надо учесть, что mg одной из своих составляющих
должна участвовать в создании постоянного ускорения а, а другой -
создавать возвращающую силу.
Отсюда ясно, что mg надо раскладывать в "равновесии" по
направлениям а и -Q0, как это показано на рис. 16, б (на F =- Qo и
та). При этом составляющая F уравновесит силу Q0, а составляющая
вдоль наклонной плоскости сообщит шарику постоянное ускорение а.
В этом положении "равновесия" сила F играет ту же роль, что и сила
mg в задаче 1.
своей составляющей, перпендикулярной к Q, давать возвращаю-
щую силу (подобно тому, как это происходило с mg в первой
задаче или с силой (mg-\-qF) в задачах 3 и 4.
Очевидно, что при выводе маятника из равновесия на малый
угол Af (через ? обозначен для краткости угол я-f-W- возник-
нет |/\| = у-|Дг| (рис. 16, в) и значит k = -j. Но, как видно из
рис. 16, б,
F = V{tngY + {maf - 2mg ¦ та cos (90° - а) =
= т Vg'l-\-ai - 2ag sin а .
Для периода колебаний будем иметь
Сила F при малом выводе маятника из "равновесия" будет
171
Полезно исследовать результат при разных а и ч.
Например, при а - О получим Т = 2* ~ ¦ При скольжении
тележки по наклонной плоскости без трения (т. е. при а = g sin а) Г =
2и 1/ ---При д==±^- Т = 2*1/ ---. При свободном
Г gcosa к 2 ) к ~+ й
палении тележки, т. е. при a = g (а, значит, a = g), формалы:о
7 = 2* ]/ - оо,
г g-g
Таким образом, в решении заключены ответы на определение 7
маятника во всех тех случаях, когда он колеблется па подвеске,
движущейся с произвольным постоянным ускорением.
Решим эту задачу, пользуясь принципом эквивалентности сил
инерции и силы тяжести. Он означает в данном случае, что движение
