Методика решения задач по физике - Кобушкин В.К.
Скачать (прямая ссылка):
Для достаточно удаленного источника (когда линейные раз-
меры "освещаемой" области малы по сравнению с г) гг и л3 мало
отличаются друг от друга (рис. 22). Делая циркулем засечку
радиусом г из местоположения источника, получим равнобедрен-
ный треугольник со сторонами гь г% и а. Равные углы при этом
будут мало отличаться от прямых (ибо из-за г а угол р "" 0).
Но тогда угол 7 я^90° и, значит, ASU = AS cos а.
Из определения вектора Умова следует, что его величина
п_
At ASU ¦
Интересующая же нас величина F выразится как
АЕ А Е
At AS At ASU
C0Sa = Pc0Sa. (*)
Зависимость P' = P' {a) вскрыта. Теперь надо связать Р' с N и г, ., г, АЕ
Из определения Р= А( AS следует, что в однородной, изотроп
182
ной и непоглощающей среде для сферической волны в силу пер-
пендикулярности поверхности сферы лучу
р Д Е n
At AS,t At 4кг2 4кга '
где ДЕ - энергия, прошедшая за время М через сферу радиуса г.
С учетом этого и (*) Р'= 4^-cosa.
Заметим, что величину J = -~, показывающую, какая мощность
излучается в единицу телесного угла, называют иногда силой излучения
источника (в данном случае изотропного).
Для случая световых волн величину N называют световым потоком от
источника, J - средней силой света, величину Р' -
nr N
освещенностью площадки, а соотношение Рcosa = J
= - cos a - законом освещенности, создаваемой точечным источником
в однородной, изотропной и непоглощающей среде.
Если источник неизотропный, т. е. излучает различно в разных
направлениях, то вводят понятие силы излучения в данном
7 AiV А \ т
направлении J = где Д/V - мощность, посылаемая источни- ком в
телесный угол Д2.
Задача 22
На расстоянии h от точечного источника мощностью N, нахо-
дящегося в однородной, изотропной и непоглощающей среде,
находится идеально отражающая волны плоскость. Найти Р - ~Р (г),
где г - расстояние от источника до интересующей нас точки.
Решение
В интересующую нас точку энергия будет попадать как непо-
средственно от источника, так и после отражения от плоскости. Из рис.
23 (построенного с учетом того, что угол отражения луча
183
равен углу его падения) видно, что геометрически отражение волны от
плоскости эквивалентно ее распространению от точки S' - мнимого
изображения источника S. Поскольку по условию плоскость отражает
волны без поглощения их энергии, то это эквивалентно тому, что в
точку А энергия приносится от источников S и S' одинаковой мощности.
При этом, как видно из рисунка, Л' = й.
Проводя плоскость через прямую h'h и точку А и располагая
данный лист в этой плоскости, получим картину, изображенную
_ N и
на рис. 23. Так как Ярез = Я -|~ Р', или Ярез= ~
-f-
_l_ Nг • -, то с учетом одинаковой направленности г с и и г' ' Ат.г' и
с и' получим
Л>ез - 47 (тт 4" рт) . . (*)
где г и г' - расстояния от источника S и его "изображения" S' до точки
А.
184
Пусть начало отсчета находится в точке 5 и пусть, например,
положение точки А задано координатами х и у. Тогда задача сводится к
нахождению г' или, что все равно, его проекций гх и г'у. Но из рис. 23
видно, что rx = rx = x, a r'y = h-\-h! - = y-\-2h.
При этом г'3 - (r.v2-|- rj)s/2 = [*а + (г/4- 2hf]3^.
Расписывая равенство (*) в проекциях, получим
р - N ( * 1 -у \
резЛ'_ 4^\(^ + У2)^ + [** + (j> + 2A)"]"/./.
р 1V / У , .У + \
- 4^(**+у)*/, + [x* + (y + 2h)*\*hj-
Задача 23
На вогнутую сферическую поверхность радиуса R падает волна от
точечного источника J, находящегося на расстоянии d от поверхности
(рис. 24). Найти положение изображения источника, т. е. точку, в
которую "сойдется" волна после отражения от поверхности. Среда
однородна и изотропна.
Решение
Поскольку среда, в которой распространяется волна, однородна и
изотропна, то волна, идущая от источника J, будет сферической. Пусть
для определенности d^>R. В некоторый момент времени фронт
упавшей волны имеет около отражающей поверхности вид. указанный
пунктиром на рис. 24, а. В то время как точки А и В фронта уже
коснулись поверхности, точка С еще до нее не дошла, и к тому моменту,
когда точка С дойдет до зеркала, точки фронта А и В переместятся
после отражения в положения А' и В'.
По определению фронта волны времена прохождения волной
расстояний АА', ВВ' и СС' одинаковы и сами эти расстояния одинаковы
(какое расстояние xt пройдет падающая волна от С до С', такое же
расстояние Xi = AA' за это врямя пройдет отразившаяся часть фронта
волны). Из рисунка видно, что |*4|== = | Xi | -j- | Xi | -j- | JC31. Но так
как | x3 | = AA' cos fi = | | cos p, to
I Xi I - I Xi I (1 -f- cos p) ~\~ j X.2 |.
Если пучок волн, падающий на поверхность, узкий (т. е. а-*0), то |3
0 и
1*4 I= 2 I Х\ | -\- | Ха |.
Поскольку соответствует падающей волне, а и 2xi - отраженной, то
они должны быть противоположных знаков, а ПОТОМу -Xi- -2xt~\~x^
или
2х, - х$ -(- лд.
185
Известно, что при малых высотах сегмента имеет место связь
*^11 (рис. 24, б). Поэтому равенство (*) (с учетом того, что
