Методика решения задач по физике - Кобушкин В.К.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку две проекции вектора на оси координат в случае
плоского движения вполне определяют вектор, то можно ска
зать, что равномерное вращение радиус-вектора R эквивалентно двум
гармоническим колебаниям его проекций на оси координат и
наоборот. Это особенно отчетливо будет видно, если вектор R записать
в виде суммы его составляющих на i и / направления (т. е. вдоль
положительных направлений осей координат ох и оу):
R = хi -f- yj = X cos (wt -)- <po) sin (tot <p0) • /.
Обозначая Xi = Ri и Yj=Rj, получим
R = Ri cos (tot -f tp0) -f- Rj sin (tot -f tfo).
Таким образом, равномерное вращение вектора R эквивалентно
двум гармоническим колебаниям взаимно-перпендикулярных,
одинаковых по модулю векторов; при этом колебания этих
векторов сдвинуты по фазе на у (именно так сдвинуты тригоно-
метрические функции cos <р и sin ср).
157
Все сказанное относительно R вполне относится и к скорости v и
ускорению а материальной точки, движущейся по окружности с
постоянной по величине скоростью.
Молено показать, что если материальная точка движется под
действию?.! силы, пропорциональной смещению и обратно ему
направленной, т. е. под действием силы
F= - k Дг,
то ее движение будет гармоническим. Это означает, что смещение Аг
материальной точки, ее скорость v, ускорение а и сила F будут меняться
в соответствии с уравнением
z = Z cos (u);-j-;p0) или z = Zsin((o/-|-cp0),
где под г понимается какая-либо из перечисленных величии А г, v, а
или F. Примером такого движения может быть движение
Рис. 5.
гирьки на пружине (рис. 5) в отсутствие сил сопротивления при малых
смещениях А г (столь малых, что даже величина максимального
смещения AR много меньше длины пружины) и при условии
невесомости пружины (т. е. масса пружины ничтожна по сравнению с
массой гирьки). Такого типа колебания, происходящие под действием
сил F = - йДг, называются малыми собственными колебаниями.
Оказывается при этом, что А г колеблется гармонично, т. е. Аг = &R cos
(ш( -|- <р0) или Ar = A?JsinX X (wt -j- 9оУ, а частота этих колебаний
определяется формулой
/ = ^ или более компактной w = j/~~ , гдеи> = 2и/- цик
лическая или круговая частота колебаний.
В формуле F = - й А г знак "минус" означает, что в любой момент
времени смещение материальной точки А г и действующая на нее сила
F направлены навстречу друг другу.
Поскольку сила F всегда направлена к положению устойчивого
равновесия, то ее называют возвращающей (в равновесие) силой.
158
Полезно отметить, что при указанных колебаниях материальной
точки ее кинетическая энергия и потенциальная энергия
деформированной пружины, равные соответственно
Р mv2 р kx2
L. к - "2 ^ п - "2" *
тоже колеблются гармонично, но с удвоенной частотой. Действительно,
если например v - V cos (mt -j- cp0), то
г. mva mV2 9, j, \ mV2 1 + cos (2u>t + 2<p0)
?K = -= -COS2 (mt -J- cf0) = g 2 =
mV2 , mV2 /о j i о \
= - H-- cos (2Ы + 2(Po) •
При этом колебания Ек происходят около значения ?ср = ^-.
Аналогично обстоит дело и с потенциальной энергией Еп колеб
лющейся гармонично системы.
По гармоничному закону колеблются в электрической сети ток и
напряжение. В простом колебательном контуре (состоящем из
индуктивности L, емкости С и ничтожного сопротивления R) по такому
же закону колеблются ток, напряжение ка конденсаторе, заряды на его
обкладках, э. д. с. самоиндукции. В излучаемых таким контуром волнах
по тому же закону колеблются напряженность электрического поля Е и
индукция магнитного поля В.
Подавляющее число колебательных процессов в природе, конечно,
происходит не по гармоническому закону, ко можно показать (что
делается в так называемом гармоническом анализе), что сколь угодно
сложное колебание может быть представлено как какой-то набор
простых (гармонических) колебаний разных частот (монохром). Отсюда
ясно, что изучив простые (монохроматические) колебания, легко понять
и сколь угодно сложные.
Поскольку колебательные процессы распространены в природе
исключительно широко (если не подавляюще широко), то очевидна
важность изучения этих процессов. Важно понимать, что независимо от
их природы все простые колебания описываются одинаковыми
уравнениями
z = Z cos (mt -(- <р0) = Z cos (2r.ft -}- cfo),
где г - мгновенное (в момент времени t) значение колеблющейся
величины; Z - ее максимальное (амплитудное) значение.
В случае гармонических колебаний векторов
z = Z cos (utf-f- <ро) = Z cos (2vft-\- Ф0),
где / - частота колебаний; со - циклическая или круговая частота (это
просто обычная частота /, умноженная на 2Е).
159
Колебания могут распространяться в среде в виде возмуще-
ний, которые называются волнами. Простые колебания поро-
ждают простые волны, а сложные колебания - сложные волны.
Простейшая волна - это
плоская монохроматиче-
ская волна.
Плоская - значит ее
фронт (т. е. та поверх-
ность, до которой к дан-
ному моменту времени
дошло возмущение) есть
