Методика решения задач по физике - Кобушкин В.К.
Скачать (прямая ссылка):
с частотой
V==V&=Vf
Обычно при колебаниях нитяного маятника интересуются именно
колебаниями проекций векторов Дг, a, v и F на касательное
направление к траектории, т. е. величинами Дг, v, at и /%.
Легко, однако, видеть, что величины а,, Ек и Еп колеблются
с частотой 2u). Для этого надо учесть, что
V3 г, mv3 г- кО. г3
а/ = 7~. Ек = ~ и ^п = "
и воспользоваться сказанным в параграфе 1 относительно коле-
баний кинетической энергии гирьки.
Таким образом, колебания нитяного маятника характеризу-
ются колебаниями с частотами ш (для Дг, и, ат, Fj и 2ш (для
а,, Ек, ?"), а такие колебания, строго говоря, не являются гар-
моническими, Для большей точности следует, говоря о колеба-
ниях в системе, указывать,
какая из характеристик дви-
жения нас интересует.
Задача 2
Найти период малых ко-
лебаний величин смещения и
скорости бруска, который
может без трения скользить
по внутренней части обруча
радиуса R (рис. 10).
Решение
Очевидно, движение та-
кого бруска не отличается
в принципе от качаний нитяного маятника. Только роль связи
(опоры) играет не нить, а обруч.
При малых колебаниях подобного рода Т- 2ъ j/~ J-.
предыдущей задаче показано, что /% =
Но
mg
! Дг, т. е. роль коэф-
фициента k играет величина у? (или для обруча 7^). В соответ-
ствии с этим
Т-.
165
Задача 3
Найти период малых собственных колебаний Дг и v маленького
заряженного шарика, колеблющегося в однородных полях
Очевидно, для численного
массу шарика т, его заряд <;
ческого поля Е и длину нит]
g и Е, совпадающих по направлению
(рис. 11).
Решение
Период таких колебаний будет
найден, если определим коэффи-
циент возвращающей силы. Из рис.
11 видно, что | Fx j = {mg -\- qE) sin
а или при малых углах отклонения
| Fx | = 1 А г |, а с
учетом
противоположности направлений
Fx и Гг Рх = -^±^Гг.
Т Т /
Отсюда k = *?? И) значит,
Т = 2лТ/Г-.
V mg+qE
ответа на вопрос задачи надо знать ,
величину напряженности электри- [ I.
Задача 4
Определить частоту малых собственных колебаний касательных
характеристик движения (Дг, и, ат и Ех) шарика колеблющегося па нити
во взаимо-перпендикулярных полях g и Е (рис. 12).
Решение
Решение сводится к нахождению коэффициента возвращающей
f
силы k. Здесь уместно еще раз отметить, что k= показы
вает, какая возвращающая сила возникает при единичном смещении
тела из положения устойчивого равновесия. В предыдущих задачах
положение равновесия определялось "само собой", а в этой задаче его
еще надо определить.
.. Из рис. 12 видно, что положение равновесия определится из условия
mg -{- qE -f- Q0 = 0.
В проекциях на т и I направления получим:
- mg sin а0 -{- qE cos а0 = 0,
- mg cos а0 - qE sin а0 -j- Q = 0.
166
Первое равенство дает tga0 = ^- (а из второго можно было бы
определить натяжение Q0 в равновесном положении).
Рис. 12.
На маятник в любом положении, кроме переменной силы Q,
действует сила F = nig qE, постоянная по величине и направ-
ленная всегда под углом а0
к направлению g. Касатель-
ная составляющая этой силы,
Fz и обуславливает интересую-
щие нас колебания. Если вы-
вести маятник из равновесия
на малый угол р, то, как видно
из рис. 13, возникает сила
|FT| = ^sinp или | Fz | = j | Дг|,
где F = V {mg)'1 -f- (qE)'2. Но
тогда
/ = - л/ - =
1 2тzVm
_ 1 л[ f(mg)* + (qEf_
2тс V ml ' Рис. 14
Задача 5
Найти связь между углом отклонения а и фазой малых колебаний
математического нитяного маятника (рис. 14).
167
Решение
Совершенно очевидно, что единственно, что можно по этому
поводу написать, так это уравнение
|Дг| = |Д/?| sin (urf-f-tpo),
где ДР - амплитудное значение смещения.
В исходное равенство вошли Дг и ДR, которые не фигури
руют в условиях, а угол отклонения Но из
рис. 14 видно, что для малых отклонений
|Дг| "=* / • а |Д7?| • атах
(а берется в радианпой мере) Подста-
новка этих значений |Дг| и |Д/?| в ис-
ходное равенство приводит после со-
кращения на I к искомой зависимости
а = <*тая Sin (u>/-f-cp0).
Видно, что угол отклонения от
вертикали колеблется гармонически,
как и смещение Дг.
не вошел в равенство.
Задача 6
В цилиндрическом ведре массой М, высотой Н и сечением S
насыпан песок плотности р. Расстояние от точки подвеса до дна ведра
/. Считая дно ведра невесомым, найти зависимость частоты малых
собственных колебаний получившегося маятника от уровня песка в
ведре (рис. 15).
Решение
Если бы вместо описанной системы качалась материальная точка, то
решение было бы тривиальным. Но материальная точка в данном
случае отличается от ведра с песком тем, что массы
468
ведра и песка г:е сосредоточены в малом объеме, т. е. систему нельзя
считать материальной точкой Но если бы наша система сжалась в точку,
расположенную в центре масс системы, то период качаний никак не
изменился бы (сопротивления нет, поэтому размеры системы роли не
