Методика решения задач по физике - Кобушкин В.К.
Скачать (прямая ссылка):
окружности т. е. практически звезда с малой массой вра
щается вокруг практически неподвижной звезды с большой массой.
Поскольку на эти звезды внешние силы не действуют, то,
естественно, их общее количество движения не меняется, а это
значит, что совместно с их взаимным вращением звезды могут дви-
гаться так, что их центр масс имеет скорость v = const.
108
Зная Г\ и л4, нетрудно найти ТХ = ТЧ. Например, для первой звезды
из Fi = miai получаем
m, т* 4rcV,
Т ]х fj г
откуда __
• T1 = '2TZ Л/~г-^-
1 V № '
или, учитывая, что
mJ
т, + ;/га'
найдем
Т = 2к Л[ -г-1 У
1 {r>h ¦
+ Щ) '
т. е. период обращения зависит лишь от их взаимного расстояния и
суммы масс и не зависит от соотношения масс.
11. СТАТИКА
Статика - это тот раздел механики, который изучает условия
равновесия твердого тела, т. е. такого тела, которое под дейст-
вием внешних сил своей формы существенным образом не меняет.
Введем понятие центра
масс системы тел как той
точки, в которую сжа-
лась бы вся система тел,
если бы между частями си-
стемы появились бесконеч-
но большие гравитацион-
ные силы. Положение цен-
тра масс системы (рис. 98)
определяется равенством
- г1/п1 + ... + гпип
с mi + --- + mn '
где г и ..., л-радиус-
векторы отдельных малых
тел системы в некоторой (любой) системе отсчета; m\, ..., тп -
массы этих малых тел; гс - радиус-вектор центра массы системы.
Если система тел находится в однородном гравитационном поле,
то центр масс системы одновременно является центром тяжести
системы.
Центры масс однородных простой формы тел находятся;
1) в стержне постоянного сечения, в цилиндре, шаре, сфере,
параллелепипеде - в центре; 2) в треугольнике - на пересечении
медиан; 3) в правильной пирамиде на одной трети высоты от ее
основания.
109
При нахождении центра тяжести тела сложной формы его
разбивают мысленно на тела простой формы, гс которых известны.
При этом, если имеется некоторое однородное плотностью р
тело с полостью внутри, то при нахождении гс тела полость
можно формально считать телом отрицательной плотности -р,
а тело сплошным (без выреза).
Введем еще одно понятие - понятие о величине момента силы,
как величины, определяемой равенством
M = Fr sin а,
где F - сила, действующая на тело; г - радиус-вектор ее точки
приложения; а - угол между Far (рис. 99).
В дальнейшем мы будем рассматривать только тот случай,
когда все силы лежат в плоскости, перпендикулярной к оси вра-
щения, причем моменты сил,
вращающих тело по часовой
стрелке, будем считать поло-
жительными, против часовой
стрелки - отрицательными.
Теперь можно сформули-
ровать основную теорему
статики для этого простей-
шего случая.
Чтобы твердое тело на-
ходилось в равновесии, необ-
ходимо и достаточно, чтобы геометрическая сумма сил, дейст-
вующих на тело, была равна нулю (при этом центр массы
тела не будет, иметь ускорения) и алгебраическая сумма момен-
тов этих сил относительно любой точки плоскости, в которой
лежат силы, была равна нулю (при этом тело не будет иметь
углового ускорения).
В математической форме эту теорему можно выразить так.
Для ас = 0 необходимо Ft + ••• + ?" = О и для [3 = 0 необходимо
М\ -f-... -f- Мп = 0.
Сформулированная теорема есть просто второй закон Ньютона для
частного случая а - 0 и [3 = 0.
Можно показать, что сколько бы ни было у тела опор, независимых
уравнений моментов будет только одно. Однако иногда бывает
выгодно написать два-три таких уравнения (вместо, разумеется, каких-
то других); но надо помнить, что они будут не независимыми, а
следствием каких-то других уравнений (см. задачи 82 и 83.)
Задача 76
Найти центр масс однородной пластины постоянной толщины,
размеры которой указаны на рис. 100.
110
Решение
Разобьем пластину на три части и введем оси координат, как
показано на рис. 100 (с началом в центре тяжести первой части). Тогда
- __ r1m1 +lrsmt + r3ms с т{ + /па
+ тп8
или в проекциях на оси х и у
г *1 т1 +хгтг + х3т3.
Ус
"I + тг + та
_y>1m1 + y2ms + ysms
mi + + mn
Учитывая, что m^pVi - phSj и
?-i_ir
2 Т 2
¦2+V "> I 3
л л fl | / - a
xi - 0; "/i = 0; Xa=-y-)-'
/ jb
2 > 1/s 1
2
? - c\
a , , cf , a i d с
= -n + - й) + -j - I - -n + ТГ 5 й = - -n ;
2 /'
с
"
2
получим
Рл[4 (/_а)(?-С) + (/-|+4) .l(?-c)rf]
рЛ а? -f (/ - а) (? - с) + -i- (? - с) d j
рЛ Гу (/ - а) (? - с) + -j • (Ь - с) fifl у^ -.
- .... J ^
рЛ | ab + (I - а) (Ь - с) + ~ (Ь - с) rfj
Сокращая на рА, видим, что от толщины пластины А и ее плотности р
положение центра масс не зависит и определяется только формой
пластины.
У<
ЯШШ
ШШШ
х
Рис. 101.
Задача 77
Найти центр масс однородной пластины постоянного сечения с
вырезом в виде круга радиуса $ (рис. 101).
-111
Р е ш е н и е
Взяв за начало отсчета центр прямоугольника, получим
в проекциях на оси с учетом того, что рКруга = - р
