Методика решения задач по физике - Кобушкин В.К.
Скачать (прямая ссылка):
Как видно из закона тяготения, Fгр зависит для данных двух тел
только от их взаимного расположения. Это приводит к тому, что работа
этих сил по изменению взаимных расположений этих тел не зависит от
того, как это изменение происходило, или (пользуясь понятием поля)
работа по перемещению одного тела в гравитационном поле другого
не зависит от формы пути.
Это позволяет приписать каждой точке гравитационного поля
некоторую энергетическую характеристику, называемую потенциалом
<р, такую, что работа сил поля при перемещении в нем тела массой т
определится равенством
4i,* = - т (tp* - tpi). (*)
Ьо
Величину т<? называют потенциальной энергией тела в поле
тяжести. Если за уровень отсчета этой энергии взять
энергию тела на поверхности земли, то при h((R3 <^ - gh,
где g - ускорение свободного падения, Тогда
/4i>g = - т (gh3 - ghi),
или
Л 1,з = mgh\ - mghi.
Поля, работа которых от "формы пути" не зависит, назы
ваются потенциальными. Другим примером такого поля является
электрическое поле неподвижных зарядов - кулоновское поле,
описываемое формально законом
Т=Щ~гй-
н
Магнитное поле этим свойством независимости работы от "формы
пути", вообще говоря, не обладает. Поэтому его нельзя
охарактеризовать понятием потенциала и приписывать телу,
находящемуся в нем, понятие потенциальной энергии.
Поскольку потенциальная энергия определена как энергия
взаимодействия, то естественно положить ее равной нулю там, где тела
существенно взаимодействовать не могут, т. е. на бесконечном
удалении тел друг от друга. Это означает, что потенциал поля в
бесконечно удаленной от тела, создающего это поле, точке полагают
равным нулю.
В этом случае равенство (*) можно, полагая <р = 0, переписать в
виде /4i,o3 = fra?i, где Ai,m - работа, которую совершает
гравитационная сила при удалении тела из данной точки в
бесконечность.
Если тело уходит на бесконечность под действием некоторой силы,
в каждый данный момент уравновешивающей гравитационную силу, то,
очевидно, из F[p- - F следует, что
Аг р = - Ар,
и тогда
(Alt0a)p = - mv,
откуда можно определить потенциал данной точки поля как
(Al.co)rp (^1,со)р
У т т '
т. е. как величину, численно равную той работе, которую совершает гравитационная сила (или - с точностью до
знака - уравновешивания ее сила) по перемещению тела
единичной массы из данной точки в бесконечность.
Поскольку т<р в соответствии со сказанным можно определить как
запас потенциальной энергии тела в данной точке, то
Wn
ш = -- есть величина, численно равная потенциальной энергии
86
тела единичной массы в данной точке) Этим и^обусловлено назва-
ние термина "потенциал".
Для описания всякого силового поля (в том числе и непотен-
циального) вводят силовую его характеристику.
В случае гравитационного поля такой характеристикой явля-
- р
ется напряженность g = -^p, численно равная силе, действующей
в данной точке со стороны гравитационного поля на тело единич-
ной массы. Тот удивительный факт, что в случае именно грави-
тационного поля ускорение силы тяжести (свободного падения)
и напряженность поля совпадают,
есть следствие эквивалентности
инертной массы, входящей во вто-
рой закон Ньютона, и гравита-
ционной, или тяжелой, массы, вхо-
дящей в закон тяготения. (Именно
эта эквивалентность и легла в ос-
нову теории пространства, времени
и тяготения, фундамент которой
заложил Эйнштейн.)
Итак, всякое тело создает во-
круг себя силовое поле тяготения,
которое характеризуется в каждой
точке напряженностью g (силовая
характеристика поля тяготения) и потенциалом <р
ская характеристика)
F
т т '
где т - масса пробного тела, которым исследуют интересующее нас
поле; F-сила, которая действует на пробное тело в данной точке со
стороны поля; А00- работа, которую необходимо совершить, чтобы
пробное тело равномерно и в отсутствии сил сопротивления унесли из
данной точки в бесконечность. Очевидно, эта работа численно равна
той потенциальной энергии Wп, которой обладает тело т. в данной
точке.
Если исследуемое поле создается материальной точкой т0 (рис. 75),
то
Знак "минус" в формуле для 9 означает, что всякое тело обладает в
поле, созданном телом /и0, отрицательной потенциальной энергией по
отношению к бесконечности.
Рис. 75.
87
Надо помнить, что g - вектор, эф - скаляр. И если в некоторой
точке нас интересует поле, созданное несколькими телами, то
§ - ?i+ • •• +?п" Ф -'fi + • •• + Фя-
Однородный шар или шаровой слой создают вокруг себя такое
гравитационное поле, как если бы этот шар или слой сжался бы без
изменения массы в свой центр.
Задача 53
Доказать, что внутри однородного шарового слоя g== О (рис. 76).
AS,
Решение
Выбрав внутри шарового слоя некоторую точку, проведем из нее
два малых конуса, которые, пересекая слой, вырежут на нем
поверхности ASj и ASa-
88
Если конусы очень узки, то Дту и /im2 можно рассматривать
