Методика решения задач по физике - Кобушкин В.К.
Скачать (прямая ссылка):
как материальные точки и, значит,
а8 - Т ~рг гм ~г Т ~рг гт,
но
Lm = DhbS = Dh-^t
cos а '
где ASn построена перпендикулярно к оси конуса; D - плотность;
h - толщина слоя.
Поэтому
Так как
cos а\ г\
Гог
: г 0'2
= Д W
гJ
(по определению телесного угла), то
- 1 r "1 + ДЬУ2 г"а)
и из-за Да>! = Дщ2 (вертикальные углы равны) получаем
. д DhAw /- , - ч
Д? - Т-р^т(г01+ гм).
Поскольку г0) = -г04 (как противоположные орты), то r01-f- г03 = 0,
и поэтому Ag = 0.
Поскольку такой же вклад в общее поле дают и остальные
подобные пары элементов Д/л, то внутри однородного шаровою
слоя действительно g = U в любой
точке.
Задача 54
Найти зависимостьg = g(r) внутри
однородного шара (рис. 77).
Решение
Выбрав произвольную точку N
внутри шара, проводим через нее
сферу, концентрическую с шаром.
По доказанному в предыдущей задаче, слой h поля в точке А/ не
создает. Остальная же часть шара создает вне себя поле
8-
т -
¦Т-Г*г 0 = Т г
4
° 3 П/'3 - 4
г<\= т KDY = kr.
т. e. g внутри шара пропорционально расстоянию до центра шара и
направлено по радиусу к центру шара.
89
Задача 55
Доказать, что внутри произвольной сферической полости,
сделанной в однородном шаре, g = const, т. е. поле однородно (рис.
78).
Решение
Очевидно, что не будь полости, поле в точке N было бы равно
g\=kr\. Наличие же полссти меняет это поле на величину g% = kr<2.
При этсм искомое поле g таково, что поле (g + ga) должно быть равно
полю сплошного шара gu т. е. gi=g + ga, откуда
g = gi-gt = k(ri - r,) = kd.
Но Г\ - гг = й численно равно расстоянию между центрами шара и
полости и есть величина постоянная, а потому Hg = &d = const.
Задача 56
Найти вторую космическую скорость, т. е. ту минимальную скорость
относительно центра Земли, которую должно иметь тело для того,
чтобы выйти за пределы земного тяготения. Сопротивление среды не
учитывать (рис. 79).
90
Решение
Поскольку движение тела происходит под действием переменных
сил, то воспользуемся законом энергии
Считая двигатель выключенным и сопротивление отсутствующим.
получим \W = 0 или W0 = Wю, здесь W0 - полная механическая энергия
тела в той точке, где ей сообщили искомую скорость, a W о, - энергия
тела на бесконечности, равная, очевидно, нулю. Но тогда и U?0 = 0 или
fpT ГУJ Л/i
Здесь r - R3-\-h, где h - высота той точки над поверхностью Земли,
где тело получило искомую скорость.
Какую минимальную работу надо совершить по удалению тела
массой т с поверхности Земли в бесконечность, если работа сил
сопротивления составляет п-ю часть искомой работы?
л-мсопр = дг.
Это выражение можно
преобразовать
от куда
Рис. 79.
Задача 57
Решение
По закону изменения энергии
А -{- А сопр = Д W.
Поскольку А сопр и А противоположных знаков, то
А--- = Д1Р
П
91
или с учетом, что Д1ТК = 0 (мы ищем минимальную работу) а
Две звезды с массами nil и пц находятся на расстоянии /. Найти
напряженность поля и его потенциал в точке, находящейся на
расстоянии rt и от первой и второй звезд соответственно (рис. 80).
Из рисунка видно, что такие точки лежат на окружности в
плоскости, перпендикулярной к прямой, соединяющей эти звезды.
Рассмотрим задачу для произвольной точки А этой окружности Тогда
g = gi + ga- Из
векторных треугольников получаем
е* = gt -f Si + 2giga cos я; ll - r'i -f- r'i -
2л,л8 COS a, исключая отсюда cos я, получим
откуда
Задача 58
А
А'
Рис. 80.
Решение
g* = g'i + g" - 2ёФ
t'-r\ - rj
2г,г"
92
Подставляя значения g^ и g2, находим
_2 ,2 Гт? I mima //2 -з _зП
в - Т L r\ ' rf, r3r3 J '
Зная g, найдем и его направление, определяемое, например, углом
р
cosB = -
С0ЬЙ 2 gtg
Потенциал в точке А определяется алгебраической суммой ^ и <р4
/т. . тЛ
т = -Пп+77)-
Задача 59
Найти работу по переносу тела массой т с одной планеты на другую
в отсутствие сил сопротивления. Массы и радиусы планет известны,
расстояние между ними велико (рис. 81). При переносе величина
скорости тела не меняется.
Решение
Очевидно, что A -f- Лсопр = AIF" -{- Л1РК. По условию ЛСОпР = 0;
будем считать и ДЦ7К = 0. Тогда
А = т (<р2 - ер,),
где ?! и tp2 создаются обеими планетами, т. е.
<Р1 3 + тГ и Ъ = <Рв <Рв •
<[(Й+1НМ]
А = - тт[м2 (^ -т;) + ^1
и гак как в- и много больше у-, то
Hi /<2 Ч
Л ~ _ Т|П _ МЛ ~ Т|П /#! - ^
Т U. -т Ui *"Г
Тогда
или
93
Задача 60
Какова скорость истечения газа из сопла двигателя космического
корабля при старте, если он получает ускорение а в направлении,
противоположном ускорению свободного падения g?
неты М, а также расстояние до ее центра г и сила сопротивления
атмосферы Fc известны (рис. 82).
Решение
На корабль действуют /^акт. сила тяжести mg и сила сопротивления
