Методика решения задач по физике - Кобушкин В.К.
Скачать (прямая ссылка):
Хс= (- ^R2h) + ?abh = -n^ + ab '
(_ р r.R4) (~ - /?) л/?2 (/?-•§)
Ус = (- ряЛ?2Л) 4- pabh ~ - кге + ab '
здесь учтено, что х-я координата центра круга отрицательна.
Задача 78
Найти центр масс однородного
тара радиуса R с шаровой по-
лостью R1 внутри, если расстоя-
ние между центрами шара и по-
лости равно а (рис. 102).
Решение
Расположим шар так, чтобы
прямая а была в плоскости чер-
тежа (тогда не придется считать гс),
и выберем начало отсчета в центре
шара с одной из осей вдоль а (и, значит, не придется считать
координату ус = 0). Тогда
(-р 4 -.")(-"> Ща
Очевидно, что хс лежит на прямой х в стороне, противоположной той,
где находится полость, ибо из R^>Ri следует хс>0.
Рис. 102.
N-i
X
Рис. 103.
Задача 79
N материальных точек с массами mi = mo, тг = 2т0
mN=Nm.b расположены на одинаковом расстоянии а одна от другой
вдоль одной прямой. Найти центр масс этой системы (рис. 103).
112
Решение
Возьмем за систему отсчета точку, лежащую слева от первого тела
на расстоянии а, тогда
т,а ~(- т-г'а -f- mNNa т0 (a -f- 2 • 2а -f-... -f- /V • Na)
1111 -Т ¦ • ¦ + 111 д) тч (' 4~ 2 ~Т • • • 4~ N)
_ а + 22 + ¦•• + W*) ___ 1) (2/У -|- 1) _ 2 _ а (2;У+ 1)
(1 2 -f- Л'7) 6 N (iV 1) 3
Очевидно, что можно было взять за начало отсчета любую другую
точку, тогда расчет был бы несколько сложней.
Задача 80
На концах тележки длиной I и массой М находятся два
человека массами пи и т%. Как изменится положение тележки
по отношению к земле,
если люди поменяются ме-
стами (рис. 104)? Трением
тележки о пол пренебречь
и считать пи ]> т%.
5ччччччч|чч чч ч ч ч^чч-с
м
т,
чччччч^ччччк^ччччччч
, А1
-л?
Решение
Исходим из того, что
поскольку тележка рань-
ше была в покое и внеш-
ние силы уравновешены
во время движения, то по-
ложение центра масс из-
мениться не могло, т. е.
х0с = хс. Очевидно, что те-
лежка переместится в сторону, где был раньше человек с мас-
сой тх. Возьмем за начало отсчета точку, в которой находился
центр тележки до перемещения людей. Тогда до перемещения
тележки
Рис. 104
¦ т
I
I
1 2 + '"а "2
тг - т.
М -f- т, -f- тг
(1)
После перемещения тележки
т, ^ 1
х,
2 - ЛП - ММ - тг (¦+ А/
М -f /п, -(г-т"
(2)
113
Сравнивая (1) и (2), получаем
~ (mi - m1) = m1 - Д/) - МЫ - гпъ (у + Д/),
откуда
. _ / (m! - т8)
' - М + т, + тг *
Видно, что Д/)>0. Зто означает, что наше предположение
о передвижении тележки влево правильно. В противном случае
получилось бы Д/<^0.
* Задача 81
Два человека, о которых говорилось в предыдущей задаче,
двигались одновременно так, что положение тележки не изме-
нилось. Где остановится че-
ловек большей массы mlt
если человек меньшей массы
гпъ дойдет до края тележки
(рис. 105)?
Решение
Поскольку положение те-
лежки не изменилось, та
можно производить расчет
положений относительно ее
центра. Очевидно, кроме того,
что тележка это то тело,
через которое два человека взаимодействовали (т. е. в принципе
не отличается от каната, который тянут два человека, стоя на
гладком льду). То тогда, по третьему закону Ньютона,
F\.i = - F%i
пли в проекциях на линию движения
Fi,i = F a, j
и с учетом F = ma получим
= т2а*.
Если считать движение людей равноускоренным при разгоне их и
равнозамедленным при их торможении, то, обозначая их перемещения
при разгоне через I, а при торможении через L, а времена разгона и
торможения через tx и ts, получим
2/, 2/, 21, 2L,
или
= /72iLi=/72*18,
Дхг
Рис. 105.
114
склалывая эти равенства, получим
ni\ (l\ -f- Li) = rtii (/a -j- ?")"
ко /г + ?> = д*> есть перемещение людей относительно земли или
тележки, поэтому
тхЬ.Х\ = т9Дх2,
и так как по условию Ахч = 1, то
Д*1 =
т
2
1
т,
'
Ответ получен при упрощающем предположении о равно-
переменном движении людей. Но и без этого предположения
результат был бы тот же.
Задача 82
Балка весом Р, нагруженная силами Fx и ?2, как показано
на рис. 106, находится в равновесии. Найти реакции опор Qt и Q2,
считая I, a, b, F\, Fi 04 и ао
известными.
Решение
Будем искать проекции сил Qt
на оси х и у. Условие неподвиж-
ности центра масс балки дает
Fi cos а 1 -f- Qi* -f- QiX -
- Fi cosa2 = 0; (I)
F} sin T-i -f- Qiy - P -f- Qiy -f-
-f/72sina9 = 0. (2)
Кроме того, считая возможными точками вращения А и В (это
не обязательно, но упрощает расчет), получим из условия
отсутствия вращения балки
•
1
(3)
(4)
Fi sin о^а -f- Р sin 90° - а j - Q2:v (/ - а -
Ь)-
- Ft sin at (I - a) = 0.
I
Fi sin 7i (I - b)-\-Qiy{l - a - b) - P sin 90° [^ - b
- p2sina2?> = 0.
(Ясно, что уравнения (2) - (4) не являются независимыми, и читатель
может сам показать, что одно из них есть следствие двух других.)
115
Из любой пары уравнений (2), (3) и (4) можно найти Qi^ и Qiv. Для
определения же Q]x. и мы имеем одно уравнение (Г), из которого
можно найти лишь
Q]х Qa*Ръ cos ota - Fj cos qcj.
Поскольку все условия равновесия исчерпаны, то порознь Qix и Qix не
