Методика решения задач по физике - Кобушкин В.К.
Скачать (прямая ссылка):
Решение
Чтобы куб перевернулся, его энергия перед ударом о преграду
должна быть не меньше где h и h' - высота
центра тяжести кубика до и во время переворачивания.
Поскольку непотенциальная сила работы не совершает (Q.L У), то
из
Л+Лтр = Д1Гп + Д1Гк
имеем
Очевидно,
_^gs = gg^-*)--ggj.
I / / V2
h = ~ И
Учитывая это, получаем
kcs-.vi 1 O^-Qg
2 2 I - n
откуда
i /оа"" , - 1 )g
* Задача 51
Чашка пружинных весов массой М с лежащим на ней шари-
ком массой т оттянута вниз силой F и отпущена. На какие
высоты Н и h поднимутся после отрыва от чашки шарик и чашка
(рис. 73)? Каков при этом характер
движения тел? Коэффициент жестко-
сти пружины равен k.
Решение
Движение шарика складывается
из трех этапов: 1) ускоренного дви-
жения вместе с чашкой до положе-
ния равновесия, определяемого урав-
нением
(М -f т) g - kx\ (1)
2) замедленного движения вместе с
чашкой с ]a]<^g до момента отры-
ва, происходящего в том положе-
нии, где шарик и чашка уже не
давят друг на друга, и, значит,
они движутся с a = g (очевидно,
в этот момент пружина недеформи-
рована); 3) оторвавшийся шарик дви-
жется вверх с ускорением a = g
(замедленно) под действием только
силы тяжести (чашка же из-за возникшей деформации в пружине
движется замедленно с a.2^>g).
Очевидно для последнего этапа, который, собственно, нас
интересует по условиям задачи, имеем
mv*
(2)
2 = mgH,
где Н отсчитывается от положения отрыва (и, значит, от по-
ложения нижнего конца недеформированной пружины).
Из (2) получаем
".3
(3)
и v
Для определения и4 воспользуемся тем, что при движении системы
от нижнего положения до момента отрыва энергия системы не
менялась, т. е.
kxf.
(М -f т) vi
(4)
Необходимое х0 находится из условия равновесия системы в нижнем
положении
.(MH-mJg-j-(5)
82
Решая совместно (3), (4), (5), получим
~ 2 k(M + m)g ' w
Для нахождения высоты поднятия чашки h после отрыва шарика имеем
Mvа , kh3
- = Mgh + Т '
а так как по (3)
v* = 2gH,
то
MgH = Mgh + ^.
Подставляя сюда значение Н из (6), получим окончательна, с учетом
того, что h^> О,
Mg [/^s - (Л-1 + m f g2]
k2 (M + m),
* Задача 52
С какой по величине и направлению скоростью должен прыгнуть
человек массой т, стоявший на краю тележки массой М и длиной I,
чтобы попасть на другой ее конец к моменту оста
новки тележки? Коэффициент трения тележки о подставку равен k,
временем взаимодействия человека с тележкой пренебречь по
сравнению с временем его полета. Где снова остановится тележка после
того, как закончится ее движение вместе с человеком (рис. 74)?
83
Решение
Если тележка за время полета человека переместилась на
Г, то человек переместился по горизонтали на &x = l - /' (все
перемещения по отношению к земле). При этом Дх - это макси-
мальная дальность полета и, значит,
^ J, _ v% sin 2а j.
g ¦
Перемещение тележки /' определим из того, что ее кинети-
ческая энергия после взаимодействия с человеком пошла на
работу против сил трения, т. е.
kMgl' = (2)
где и0 находим из сохранения горизонтальной составляющей
импульса человека и тележки при прыжке человека, т. е. из
mv0cos а = Ми0¦ (3)
Необходимый угол а определим из того, что время движения
тележки t равно времени полета человека 2t', где f - время его
подъема или опускания. Но
t = 1°
t'--
kg
Va sin a
g
поэтому
^ = 2u0sina (из i = 2t'). (4)
Решая совместно (3) и (4), получим
tg* = 2Ш П
Исключая и0 из (2) и (3), получим, считая а известным из (*),
m2"?, cos2 а
2kgM2
Подставляя это значение Г в (I), найдем после очевидных преоб-
разований
'g
т* cos2 а , . , ,
-ШГ+&т2°
Найдем новое перемещение тележки после опускания человека на
тележку. Очевидно, что кинетическая энергия тележки и чело
"4
века пошла на совершение работы против силы трения, поэтому
k (М + т) gt' - +2m)- "3, (5)
где и - скорость тележки и человека сразу по опускании. Она
находится из того, что
mu0cosa = (Af + m) и. (6)
Поскольку v0 и а уже найдены, то решение
(5) и (6) дает
nl^vl COS2 а
~ 2kg (М + т)2 ¦
Очевидно, что тележка остановится на расстоянии /' - Г от первого
своего (исходного) положения.
Рекомендуем читателю равенства (3) и (6), записанные уже в
проекциях на направление движения, получить из общей формы закона
изменения импульса в векторной форме.
9. ТЯГОТЕНИЕ
Закон всемирного тяготения для двух материальных точек в
векторной форме имеет вид
¦р т.т,-
F = l-prr0,
где сила F и единичный радиус-вектор г0 (орт) направлены от
притягиваемого тела к притягивающему. Этот закон позволяет
формальным образом решать любые задачи на гравитационное
взаимодействие, т. е. изучать и описывать движение тел под действием
вышеупомянутой силы.
Природу же этого взаимодействия закон не вскрывает. Это в
некоторой степени сделано в теории тяготения Эйнштейна. Известно,
что всякое взаимодействие осуществляется посредством некоего агента
- поля. Одним из таких полей и является гравитационное поле.
