Ударные волны в оболочках звезд - Климишин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
х3 и г3) при пересечении характеристики первого семейства, выходящей из
точки 7, и характеристики второго семейства, выходящей из точки 2:
х3 - х, = (и, + а,) (f3 - t, >. \
< . < , (16.2) х3 - х2 = (иг - а2) (f3 - t2); J
98
2) приближенные значения и3 и з3 при д = 0 находятся решением системы
уравнений - условий совместности, записанных в конечных разностях:
их +6/2 2 а ] - з2
=
aj + з2
а3 =- ---------------------+
7- 1 2
7-1 их-и2
(16.3)
Результаты вычислений несколько раз улучшаются, например, путем замены
функции их и и2 в точке 3 их средним значением их = ------------
и и 2
и2 + t/3
2
, где из - функция, найденная в результате предыдущего
цикла вычислении.
Трудности, возникающие при использовании метода характеристик для расчета
параметров газа в атмосфере звезды, если в ней под действием нижележащих
слоев образуются ударные волны, видны уже из следующего элементарного
примера.Пусть в среде с постоянной плотностью движется поршень с
постоянной скоростью U. Для простоты будем считать возникшую при этом
ударную волну сильной, так что ее скорость
7+ 1 /у (7 - 1)
D = U, скорость звука за фронтом ударной волны а = у---------------------
-U-
2 2 Тогда законы движения поршня и ударной волны имеют соответственно вид
7+ 1
'ув
Ut.
а уравнения характеристик:
7(7 - 1)
Ut
+ Си х_ = (1 - V
Ut + С2.
Отсюда следует, что (рис. 38) в любую находящуюся на поршне точку Ai
переносится лишь вдоль С_-характеристики инвариант J__, образовавшийся "в
прошлом" на фронте ударной волны. И, наоборот, ^-характеристика, унося с
собой значение инварианта J+, образовавшееся в точке Aj на поршне, уходит
"в будущее"и спустя некоторое время Atf догоняет фронт ударной волны. Но
в неоднородной среде ударная волна ускоряется. Поэтому поле скоростей за
ее фронтом становится очень сложным, и расчеты приходится прекращать (Ch.
Whitney, 1956).
Поскольку С+-характеристика достигает фронта ударной волны и ее наклон на
(х, г)-плоскости близок к наклону траектории ударной волны, то
приближенно мож-
Рис. 38. Направление С+ и С_-характеристик в случае движения газа,
ограниченного поршнем (/) и фронтом ударной волны С2) .
99
но считать, что параметры газа на фронте ударной волны, связанные с их
значениями перед фронтом условиями (8.18), также удовлетворяют уравнению
С+-характеристики. Это предположение и было сделано Уиземом (G.B.
Whitham, 1958). Из системы (6.1') и (6.3') в адиабатическом сфери-чески-
симметричном случае следует, что вдоль С+-характеристики выполняется
условие
рад 2 ра и dr
dp + pad и +------------ dr + - = 0,
и + а и + а г
(16.4)
из которого следует записанное выше уравнение для J+ при д = = const, р =
Крч и В случае сильной ударной волны из (2.18)
следует, что
7 + 1
¦РхО\
7 + 1 Р =---------- Pi,
у- 1
7 + 1
D.
(16.5)
Подставляя (16.5) в (16.4) и пренебрегая в последнем третьим слагаемым,
которое существенно меньше первых двух, находим дифференциальное
уравнение, приближенно описывающее изменение скорости движения
сферической ударной волны в неоднородной среде,
dD
D
dp\
Pi
dr
2 + V--
7- 1
L 7(7_i)JL у J
(16.6)
Решение этого уравнения имеет вид
D = const Pi
7-1 г [ V 7(7-1) ][ V 7 J
(16.7)
5
В частности, при у = - оно сводится к простой асимптотической фор-3
муле
О = constpr0-536/--0'451. (16.8)
Отметим, что хотя при решении уравнения (16.6) учитывающий гравитацию
член был отброшен, ее влияние здесь учтено косвенным образом, так как ею
определяется равновесное распределение плотности среды.
Метод Уизема был обобщен для учета давления и плотности энергии излучения
(S. Sakashita, Y. Tanaka, 1962), на случай релятивистских ударных волн
(И.А. Климишин, А.Ф. Новак, 1975; А.Ф. Новак, 1975), а также использован
Кондо (М. Kondo, 1975) при изучении эволюции структур, возникающих в
первоначально однородной среде за счет возмущений, неустойчивых по
Джинсу. Предполагается, что в будущем этот метод сможет конкурировать с
методом конечных разностей в смысле удобства расчетов и в точности
локализации фронта ударной волны (P.J. Morel, A. Baglin, 1980).
100
§17. Метод Чизнелла
Излагаемый ниже метод был развит Чизнеллом (R.F. Chisnell, 1955) для
случая среды с постоянным давлением. Позже он был обобщен на случай
переменного давления, имеющего место в оболочке звезды, а также для учета
сферичности, магнитного поля, поля излучения и релятивистских эффектов
(Y. Ono, S. Sakashita, N. Ohyama, 1961; Y. Ono, S. Sakashita, 1961).
Сущность метода, обобщенного на случай неоднородной среды, заключается в
том, что среда, по которой распространяется ударная волна, представляется
совокупностью бесконечного множества тонких однородных слоев, на
поверхностях раздела которых давление и плотность изменяются
скачкообразно. При переходе ударной волны через поверхность раздела двух
слоев различной плотности обратно, в сторону более плотной среды, пойдут
волны разрежения, учет взаимодействия которых между собой и с движущейся
