Ударные волны в оболочках звезд - Климишин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
избыточное (над р{) давление. Удобно ввести следующие обозначения:
W(r) = / xap(t)u(t)dt, Ф= / xOLu(t)dt. (15.9)
'о (О '(>('*)
Величину W(r ) обычно называют энергией ударной волны.
В неоднородной оболочке звезды работа А (г) расходуется не только на
увеличение внутренней энергии газа, но и на его перемещение в поле
тяжести. Из закона сохранения энергии следует
<х>
W(r ) = / г"р, [?", - ? | + -tp, + q<~]dr - Фр,, (15.10)
Г
где индексом 00 обозначены значения внутренней энергии Е и
гравитационного потенциала кр в новом равновесном состоянии. При этом из
внутренней энергии мы выделили в явном виде энергию q",, затрачиваемую на
ионизацию вещества.
Подынтегральная функция в выражении (15.9) для W(r ) нормируется ее
максимальным значением на фронте ударной волны,
~ xap (t)u(t)
W(r) = г p(t0)u(t0)f-------- ---dt =
Г 0 rap (to)u(fo)
= rap(t0)u(t0)J f(r, t)dt. (15.11)
to
где
xap (f)u(f)
f(r, t) =
r p(t0)u[t0)
Здесь оказалось удобным перейти к новой переменной
t- г"
(15.12)
91
где р - некоторая функция, вид которой уточняется ниже. Дополнительной
гипотезой метода является предположение о том, что давление газа после
достижения равновесия равно его исходному значению, т.е. что Р (t ->°°) -
р00 - рх -* 0. Кроме того, также и (t -*°°) ->0. Из определения функции f
(г, t) следует, что f (г, t) 1т=0 = 1. Значение же р выбирается так,
чтобы выполнялось также равенство
3f(r, т)
------------- = -1. (15.13)
Эт т.0
Так как dt = pdr, то выражение для энергии ударной волны W (г)
перепишется в виде
W(r) = г pti0)utt0)pf f(r, т) dr = raplt0)ult0) ри (15.11 )
о
при
оо
= / Иг, т) dr. о
Величину р находим из условия (15.13) : bf(r, т) ЪПг, t) Ы
Эт dt Эт
т-0 L J fz=t
так что
. -=- -In г (f) (15.14)
М Ldf Jr=fo
Соотношения (15.11') и (15.14) и дают четвертое дифференциальное
уравнение для частных производных функций р и и (при t - 10) :
1 Ъи 1 Эр ш иг *ри
+ + - *-. (15.15)
и dt р dt г И/(г)
При выводе (15.15) до сих пор не делалось никаких
предположений:
это соотношение является просто результатом формального преобразо-
вания выражения (15.11), т.е. (15.15) и (15.11) полностью эквивалентны.
Основное предположение метода Бринкли - Кирквуда заключается в том, что
безразмерный интеграл и аппроксимируется каким-либо явным
полуэмпирическим выражением. Так, в случае ударных волн, возникающих при
взрывах в естественных условиях, функция f (г, t) оказывается монотонно
уменьшающейся с ростом t (по крайней мере, на начальном промежутке
времени, который вносит основной вклад в интеграл для
Э f (г, t) '
и) и, кроме того, производная
^ задает правильный масштаб
средней скорости уменьшения f(r, t) за весь существенный интервал
времени. Пользуясь определением и, можно убедиться, что в классе таких
функций величина и изменяется не очень сильно. Например, если f(r, t)
имеет треугольный профиль по t (обращается в нуль по линейному закону при
некотором t = tk), то и = 1/2, в случае же спадания по экспоненте и = 1.
Как показали исследования закономерностей движения ударных волн в
атмосфере Земли, величина параметра и заключена в пределах
92
2/3 <1, причем она тем ближе к верхнему значению, чем сильнее удар-
ная волна. Это позволяет обычно использовать аппроксимацию
1 -
v ~ 1 е
3
Разрешая систему (6.7), (6.8'), (15.5) и (15.15) (с учетом, что г =г,
. Э Э
и что производные - и ----------- в (15.5) и (15.15) берутся в смысле
Лаг-
dt дг
ранжа) относительно частных производных функций р и и, находим, что
- Ъ г
= р, { 2(1 + 12) - GY
п 2
vr ри*
(1 + 12 - G) -
дг I W
rp 1 (uD dD \ Эр, 3D 3pi
* </2(1 + ft - G) +(- + ?/- ) +и -
г I р J V Pi dpi J дг др| Эг
(15.16)
Эр _ р Эр
dt piU дг
(иг ри аи \
- *т}
(15.17)
Применим далее оператор (15.4) к функции р и воспользуемся выражением
(15.16) и (15.17). В результате имеем
dp
dr
^P
Эг
]
(15.18)
или, после несложных преобразований, с учетом (15.8),
ф
dr
где
= { 2(1 + ft)-G}_1
f-*41- -I
I* D2 j p, dr j - *
pxD2W r [ p \ pi
G = 1
d Inpi In p,
(15.19)
(15.20)
Заметим, что все три слагаемые правой части уравнения (15.19)
отрицательны. Отсюда следует очевидный вывод, что с увеличением
расстояния избыток давления на фронте ударной волны уменьшается.
Сказанное совершенно не противоречит Известному факту ускорения фронта
волны при его движении в сторону уменьшающегося давления. Прирост
скорости в данном случае связан не с тем или другим знаком в выражении
(15.19), а с уменьшением начальной плотности р{ в формуле (15.7), которой
и определяется скорость движения ударной волны.
Для расчета энергии ударной волны Wx уравнение (15.10) переписывается
обычно в дифференциальной форме
dW dp i
= -rp j \h + у?," - v?, + <?">] - Ф ,
dr dr
(15.21)
где h - полный прирост тепловой функции элемента газа в результате
93
его прохождения черег фронт ударной волны и дальнейшего движения до
состояния покоя. Последнее слагаемое правой части учитывает влияние
неоднородности среды (градиента давления) на всем промежутке расширения,
