Ударные волны в оболочках звезд - Климишин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
ударной волной является чрезвычайно сложной задачей. Если же, в первом
приближении, пренебречь двойными отражениями и отражениями от центра
конфигурации, то можно получить сравнительно простое дифференциальное
уравнение, которым описывается изменение скорости движения сильной
ударной волны в неоднородной среде.
Рассмотрим оболочку звезды, разделенную на однородные слои с массой Дт (в
расчете на единицу площади) и разностью давлений на границах слоя, равной
Др. При переходе ударного фронта через границу слоя ударная волна
преломляется и отражается (рис. 39). Очевидно, что фиксированный слой
массы подвергается одинаковому действию силы тяжести как до, так и после
прохождения ударной волны. Поэтому можно записать следующие очевидные
соотношения:
Р4 - Рз = Р$ - Р\ = Др = -дДт. (17.1)
При переходе через границу двух сред ударная волна ускоряется (или
замедляется). Однако для скоростей движения газа по обеим сторонам
границы раздела можно записать
из - uA/ ux = us (17.2)
(и! =0, если газ до прохождения ударной волны покоился). Эти соотно-.
шения можно назвать условиями неразрывности движения, свидетельствующими
о том, что газ по одну и другую стороны поверхности раздела
слоев движется с одинаковой скоростью по отношению к центру
звезды.
Скорости U\ и i/5, измеренные относительно фронта волны и равные
Ui = и10 - D, u$ = uS() - D,
не будут удовлетворять этим условиям, так как при переходе через границу
раздела других слоев ударная волна ускоряется.
Введем обозначения
Pi _ Р4
Z 12-------, *5 4-----/
Р 1 Ps
Рис. 39. Схема преломления ударной волны при .
переходе через границу раздела двух сред с раз- , ,
личной плотностью. х х + Ах
101
и перепишем условия сохранения на фронте ударной волны в виде V1 + *12
7- 1
(17.3)
(17.4)
(17.5)
Они будут совершенно такими же и для ударной волны, движущейся в слое 5.
Фронт волны разрежения движется в сторону слоя 2 со скоростью, равной
скорости звука в этой среде. В системе координат, связанной с центром
звезды, он движется вслед за фронтом ударной волны ("сносится" движущейся
средой слоя 2) со скоростью Ор. Поэтому скорости газа относительно фронта
волны разрежения равны соответственно
U з = U до - Ор/ U2 = ?/2() - ?>р.
Из основных свойств волн разрежения следует, что
и* > У 21 Рз < Р2, Рз < Р2.
Поэтому аналогичное (17.5) соотношение для фронта волны разрежения будет
иметь вид
, \рА 1 - и." 1 1/2
U-L-Us = и2"-и30 = (z23-1}{----------------------------------------------
> = Ф23. (17.5)
1.Р2(Ч| +*2 3>J
Рз
Здесь z2 3 =----- < 1, поэтому и Ф23 < 0. Воспользовавшись условиями
Рз
(17.2), находим
Ф(* 1 2, Pi, Pi) " Ф(*23, Р2, Р2 ) = Ф(*5 4" PS. Р$ ). (17.6)
В свою очередь равенство (17.1) можно записать в виде Р2 Рз _ Ра Р*
ДР _ + ^Р ( Р4 ^Р
Pi Р 2 PS Pi Pi Pi P$ Pi
Отсюда следует, что
Далее предположим, что при переходе от слоя 1 к слою 5 плотность и
давление изменяются незначительно, так что
dp dz
где ----,---- - малые величины, квадратами которых можно пренебречь,
Р *
индекс "12" в дальнейшем будем опускать.
Предположим, также, что в равновесном состоянии среда является
политропной, т.е. что давление и плотность в ней связаны зависимостью р =
const р . Для изотермической среды к = 1 для модели Эддингтона
dp dp
к = 4/3 и для конвективной модели к = 5/3. Очевидно, что - = к ----------
-.
(17.7)
Ps = Pi + dp, z54 = zx2 +dz = z +dz,
(17.8)
P
102
Таким образом, из (17.6) - (17.8) следует дифференциальное уравнение для
скачка давления на фронте плоской ударной волны, движущейся в
неоднородной среде,
/1 +!?,Г
(к - 1) + 2к V----------
(1 +т?, )z
dz d In pj
! L. I,
(1+T?i)Z
Г?! +Z Z 1 которое при z > 1 имеет элементарное решение
(к-1) + 2к У--'
1+TJl
1 +17,
Z = const Pi
Это последнее можно записать иначе, учитывая, что
z =
Рг РI
Pi
Pi
- = const pf Pi
7 + 1 Р! А: - 1
(17.9)
(17.10)
В результате находим закон движения плоской ударной волны в неоднородной
среде в рамках метода Чизнелла:
1
2 +
D = const Pi
ill 7- 1
(17.11)
В частности, при 7 =- из (17.11) следует 3
D = const рГ°"2Л6.
(17.12)
Для учета сферичности ударной волны числитель правой части уравнения
(17.9) дополняется выражением (Y. Опо, 1960)
(1 - Т?, ) (Z - 1)
\/ (1 +TJ,) Z (1 + Т7!z)1
/сМпрЛ' Win г /
Таким образом, для сильной сферической ударной волны верно соотношение
4
или Z
-о ,9
если 7 = 5/3. В целом при 7 = 5/3 скорость сильной сфери-
ческой ударной волны следующим образом зависит от геометрической
координаты г и начальной плотности среды pi:
D ъ const рГ°'2 3 6г"0'451, (17.13)
103
т.е. метод Чизнелла дает в этом случае тот же результат, что и метод
Уизема (см. (16.8)).
Метод Чизнелла был обобщен для учета различных факторов, имеющих
астрофизическое значение: для учета потерь энергии ударной волны на
ионизацию газа (И.А. Климишин, 1962), для учета давления и плотности
энергии излучения и на случай плоских релятивистских ударных волн (Y.
Ono, S. Sakashita, N. Ohyama, 1961).
