Ударные волны в оболочках звезд - Климишин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
(19.1) коэффициента а использовать величину
(19.14)
Уточнялось также значение параметра v, входящего в уравнение (15.19)
путем сопоставления полученного для сильной ударной волны (энергия W-+00)
решения с автомодельным (P.L. Sachdev, 1971), а также на основе
автомодельного решения задачи о сильном точечном взрыве в среде со
степенным законом изменения плотности (A. Cavaliere, A. Messina, 1976).
Это позволило повысить точность метода Бринкли-Кирквуда, если он d In р
используется в случае < 3.
d In г
112
Уравнение (16.4) метода Уизема было модифицировано Хейесом (W.D. Hayes,
1968 а, б) путем подбора поправочных множителей таким образом, чтобы в
пределе сильной ударной волны (число Маха М> 1) решение совпадало с
автомодельным, а в случае слабых ударных волн выполнялось акустическое
приближение. Однако полученное таким образом
d In р
выражение можно использовать лишь при---------------> а + 1.
d In г
Вполне удовлетворительную модификацию методов Бринкли - Кирквуда иг
Уизема предложил Б.И. Гнатык (1983), исходя из требования, чтобы в случае
экстремально сильных ударных волн из (15.31) и (16.4) следовало
соотношение (19.7). В первом случае слагаемые с а и к в уравнении (15.31)
умножаются соответственно на поправочные коэффициенты (1 + Ci) и (1 +
С2), причем
Ci =
2(а+1)Л(3-Х)ар
а(2 -ЗХ + 2X2)
С2 = 2 - X - 2(3 - Х)зР, где а,Р записано выше в виде (19.14), Л =
7+1
27
(19.15)
. В случае А (R) < a + 1 сле-
дует принимать Ci =С2 =0.
Аналогично уравнение метода Уизема (16.4) принимает вид
dD
D
ЗМ
М2 - 1
2М2
+ 1
dp 1 Pi
М2 - 1
м2
(а + 1) + a
М + 1 ]
2М2 J
dR
R
М4 - 1
dd 1 *1
(19.16)
при
Я
и
1, если 2аР при
А < a + 1, Д> а + 1.
Точность этих модификаций видна из рис. 43, на котором показано изменение
скорости газа за фронтом ударной волны при ее движении вверх по атмосфере
с экспоненциальным распределением плотности. Скорость
Г ?о 11/2
газа и измеряется в единицах и0 = ----- ,где?0 - начальная энер-
LPo^ J
гия ударной волны на единицу поверхности, р0 - плотность газа на уровне,
h
где z = - - 0. Расчеты проведены для у = 5/3.
Н
Здесь уместно отметить, что метод Бринкли - Кирквуда позволяет, хотя и
несколько формально, конкретизировать понятия сильной и слабой удар-
113
Рис. 43. Изменение скорости газа за фронтом сильной ударной волны,
движущейся в экспоненциальной атмосфере. Результаты получены: 1 - методом
конечных разностей, 2 - модифицированным методом Бринкли -Кирквуда, 3 -
модифицированным методом Уизема, 4 - модифицированными уравнениями
Сахдева, 5 - методом Бринкли-Кирквуда без модификации.
ной волны. Как следует из основных соотношений этого метода, ударную
волну в каждый момент времени можно характеризовать ее скоростью 0 (или
силой волны р/р,) и энергией W, между которыми нет однозначной
зависимости. Так, скорость движения поршня и может быть относительно
невелика. И все же энергия W возникшей при этом и движущейся со скоростью
0 = 7 + 1
I/' ударной волны может быть сколь угодно большой, так как она
2
пропорциональна времени действия поршня f, которое можно рассматривать
как независимый параметр задачи. В расчете на единицу поверхности энергия
ударной волны запишется так:
И/ = p2ut.
(19.17)
Для достаточно сильных ударных волн давление газа за фронтом удар-2
ной волны равно р2 4
7 + 1
P\D . Поэтому из (19.17) следует
W =
(7+ D:
"Pi D*t.
(19.18)
В случае плоской ударной волны из (15.31) находим, что если первое
слагаемое правой части больше третьего, то главную роль в изменении
параметров волны играет диссипация. В противном случае волна не
замедляется, а ускоряется за счет неоднородности среды. Приравнивая эти
слагаемые, в случае ? > 1 находим при v = 2/3, к = 1 (изотермическая
атмосфера) и 7 = 5/3 "критическую" величину энергии И/*, при которой оба
процесса уравновешиваются.
3р, а\ D2 1
=---------- = -PXD2H. (19.19)
4
20 д
Очевидно, что при W> И/*ударную волну можно считать сильной в указанном
смысле. Из (19.14) и (19.16) можно найти и время действия поршня,
необходимое для того, чтобы ударная волна ускорялась, несмотря на
процессы диссипации, связанные с нагревом газа,
_ 12*i 4/у
45^0 90 *
(19.20)
114
В заключение остановимся еще раз (см. § 15) на некоторых особенностях
метода Бринкли -Кирквуда. Функция f(r,t), определенная уравнением
(15.11), фактически описывает изменение давления и скорости (в комбинации
р'(t) и (t)) для каждой лагранжевой частицы после прохождения через нее
ударной волны. Как уже отмечалось, главное предположение метода Бринкли -
Кирквуда заключается в том, что функция f(r, t) или f(r, т) сохраняет
подобие для всех частиц. Это как раз и дает возможность путем, выбора
параметра v согласовать получаемое решение с автомодельным решением Л.И.
Седова. Поэтому и точность метода Бринкли - Кирквуда высока в тех
случаях, для которых профиль ударной волны не меняется со временем или
меняется слабо, причем допускаются однородные изменения по всему профилю.
